Produktematrix bzw. Leontjefmatrix

25.11.2013, 07:46

matheResistent

Produktematrix bzw. Leontjefmatrix

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Ich habe folgende Problemstellung:

Es sollen drei Produkte mit den vorhandenen Materialien erstellt werden
$\begin{eqnarray*} p_1, p_2, p_3 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ folgende Rohsoffe braucht $\begin{eqnarray*} r_1 = 1, r_2 = 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ bracht $\begin{eqnarray*} r_1 = 2, r_2 = 1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$ braucht $\begin{eqnarray*} r_1 = 1, r_2 = 1 \end{eqnarray*}$ . Es gibt folgende Mengen Rohstoffe $\begin{eqnarray*} r_1 = 50, r_2 = 70 \end{eqnarray*}$

a) Wie viel Einheiten kann man von $\begin{eqnarray*} p_1, p_2, p_3 \end{eqnarray*}$ herstellen?
b) Wie viel lässt sich maximal von $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$ herstellen?

Meine Ideen:
Leider konnte ich bis jetzt nicht herausfinden wie ich das lösen muss. Bis jetzt habe ich nur folgende Matrix erstellt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Danke und Gruss

25.11.2013, 14:16

matheResistent

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Kann mir niemand einen Tip geben wie ich das lösen muss?

26.11.2013, 12:21

Kasen75

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Hallo,

ich würde folgende Gleichung aufstellen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\3 & 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 50 \\ 70 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

x,y,z sind die jeweiligen Mengen der Produkte.

Das daraus folgende Gleichungssystem ist dann:

$\begin{eqnarray*} x+2y+z=50 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x+y+z=70 \end{eqnarray*}$

Dieses unterbestimmte Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
Zu beachten ist jedoch, dass $\begin{eqnarray*} x,y,z \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ Aus dieser Bedingung, ergibt sich dann auch die Antwort auf die b).

Grüße.

26.11.2013, 12:27

matheResistent

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Hmm....

Danke für die Antwort, klingt irgendwie einleuchtend nur fehlt jetzt eine Gleichung.
Heisst das ich eine der Variablen frei wählen kann oder wie ist das zu verstehen?

In dem Fall hat es nichts mit der Leontjef Matrix zu tun, hmm falscher Richtung gewesen.

Danke für Deine Antwort.
Grüsse

26.11.2013, 13:29

Kasen75

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Zitat:

Original von matheResistent
Hmm....

Danke für die Antwort, klingt irgendwie einleuchtend nur fehlt jetzt eine Gleichung.
Heisst das ich eine der Variablen frei wählen kann oder wie ist das zu verstehen?

Ganz frei bist du ja nicht. Die Definitionsmenge hatte ich ja schon hingeschrieben.
Du solltest mal anfangen, das LGS zu lösen.

Ich bin jetzt davon ausgegangen, dass alle Rohstoffe verbraucht werden.

27.11.2013, 07:35

matheResistent

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Okay, ich glaube ich habe die Lösung:

$\begin{eqnarray*} x = 18 - \frac{1}{5}z y = 16 - \frac{2}{5}z \end{eqnarray*}$
Also kann ich für $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$ zwischen 0 und 50 Einheiten wählen, der Rest sollte sich dann aus den Gleichungen oben berechnen können.

z.B
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&2&1\\ 3&1&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10\\ 0\\ 40 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50\\ 70 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für b) wäre dann offensichtlich maximum :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&2&1\\ 3&1&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50\\ 50 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

Danke und Gruss

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