Kurze Frage zu Kern einer linearen Abbildung

25.11.2013, 10:49

bob123

Kurze Frage zu Kern einer linearen Abbildung

Hi, kurze Frage diesbezüglich, ich hätte jetzt gesagt c) oder b), bin mir aber nicht sicher...

Seien V,W Vektorräume. Sei ferner $\begin{eqnarray*} f: V \to W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung mit der folgenden Eigenschaft:

Für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ folgt aus $\begin{eqnarray*} f(v)=0 \end{eqnarray*}$ bereits $\begin{eqnarray*} v=0. \end{eqnarray*}$

Welche der folgenden Aussagen gilt dann immer für f?

a) Eine lineare Abbildung mit der oben genannten Eigenschaft kann es nicht geben.
b) f ist injektiv.
c) Für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ gilt f(v)=0.

25.11.2013, 10:58

Mazze

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Wieso sollte b) und c) stimmen? b) und c) schließen sich Gegenseitig aus, mit der Ausnahme $\begin{eqnarray*} V = W = \{0\} \end{eqnarray*}$ . Eines von beiden ist aber richtig Augenzwinkern

25.11.2013, 11:06

bob123

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c) ist doch eigentlich das was die Behauptung aussagt,

b) injektiv... stimmt ja irgendwie nicht, weil das Element 0 mehrmals getroffen wird...
und a) wieso sollte es so eine Abbildung nicht geben, es ist ja ein Vektorraum, daher möglich?

25.11.2013, 11:10

Mazze

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Zitat:

c) ist doch eigentlich das was die Behauptung aussagt,

c) sagt, dass die Funktion die Nullfunktion ist. Die Aussage

Zitat:

Für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ folgt aus $\begin{eqnarray*} f(v)=0 \end{eqnarray*}$ bereits $\begin{eqnarray*} v=0. \end{eqnarray*}$

Sagt : Wenn $\begin{eqnarray*} f(v) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} v = 0 \end{eqnarray*}$

Hier wird nichts darüber gesagt ob es mehrere v gibt für die $\begin{eqnarray*} f(v) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Aber wenn es so eins gibt, dann ist v = 0.

25.11.2013, 11:13

bob123

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Achso, ja, dann wird sie wohl injektiv sein...richtig?

Eine Nullfunktion liegt hier ja nicht vor.

25.11.2013, 11:14

Mazze

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Zitat:

Achso, ja, dann wird sie wohl injektiv sein...richtig?

Vielleicht solltest Du dafür auch den Beweis mal führen ums dir klar zu machen. Der Beweis passt in eine Zeile Augenzwinkern

25.11.2013, 11:28

bob123

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f heißt injektiv, wenn aus der Gleichheit von Funktionswerten (y-Werten) die Gleichheit der in die Funktion eingesetzten x-Werte folgt.
Formal: $\begin{eqnarray*} \forall x_1, x_2 \in X\colon\, (f(x_1)= f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2) \end{eqnarray*}$

v1, v2 in V
f(v1) = f(v2) -> v1 = v2
v1 = 0 -> Injektiv?

25.11.2013, 11:32

Mazze

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Also die Definition hast Du richtig hingeschrieben. Aber der Schritt

f(v1) = f(v2) -> v1 = v2
v1 = 0 -> Injektiv?

ist nicht in Ordnung. Zunächst haben wir

$\begin{eqnarray*} f(v_1) = f(v_2) \end{eqnarray*}$ das ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} f(v_1) - f(v_2) = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt benutzen wir die Tatsache, dass f eine lineare Funktion ist, das Ganze ist also äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} f(v_1 - v_2) = 0 \end{eqnarray*}$

So, und jetzt benutze die Eigenschaft

Für alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ folgt aus $\begin{eqnarray*} f(v)=0 \end{eqnarray*}$ bereits $\begin{eqnarray*} v=0. \end{eqnarray*}$

und Du kommst auf $\begin{eqnarray*} v_1 = v_2 \end{eqnarray*}$

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