Absolute Kondition bestimmen

25.11.2013, 15:04

Lula90

Absolute Kondition bestimmen

Hallo!
Folgende Aufgabe soll ich lösen:

Es sei $\begin{eqnarray*} x_{0} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie die absolute Kondition der folgenden Abbildungen an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ :
a) $\begin{eqnarray*} <br /> f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, x\rightarrow \frac{\pi}{2} <br /> g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R , x\rightarrow |x|^{3} \end{eqnarray*}$
b) Geben Sie eine Funktion $\begin{eqnarray*} h: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ und zwei stellen $\begin{eqnarray*} x_{1}, x_{2} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ an, sodass sie Auswertung von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ im Sinne der absoluten Kondition gut, die von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ im Sinne der absoluten Kondition schlecht konditioniert ist. Verwenden Sie keines der o.a. Beispiele.

Ich hab Probleme damit, die abs. Kond. zu bestimmen. Ich muss doch meine Funktion ableiten, richtig? Wenn ich aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ableite, ist doch $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ ?? bei $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ wäre die Ableitung ja $\begin{eqnarray*} g'(x)=3x^2 \end{eqnarray*}$ oder?
Wir hatten ein Beispiel mit $\begin{eqnarray*} j(x)=x^5 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} j'(x)=5x^4 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} x_{0}=1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} k_{abs}= j'(1)=5 \end{eqnarray*}$ Das macht ja Sinn für mich, aber ich habe in meiner Aufgabe kein $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ gegeben und bei $\begin{eqnarray*} 5x^4 \end{eqnarray*}$ ist die Nullstelle meiner Meinung nach auch nicht 1?
Kann mir jemand helfen?

25.11.2013, 15:40

Math1986

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RE: Absolute Kondition bestimmen
Hallo,
a) Da hast du eine konstante Funktion, also ist es klar, dass die Eingabedaten nicht den Ausgabewert beeinflussen können (der Fehler den man macht ist immer 0).

Die Konditionszahl ist eben definiert als
$\begin{eqnarray*} \kappa _{abs}(x)=\left|f'(x)\right| \end{eqnarray*}$
in dem Fall hat man eben eine Konditionszahl von 0, was auch zu erwarten war.

b) Die Funktion sieht so aus:

Die Ableitung ist
$\begin{eqnarray*} g(x)=x^3 \end{eqnarray*}$
Daraus kannst du nun deine Konditionszahl berechnen.

Zu dem Beispiel: Nach obiger Definition vorgehen. Es ist $\begin{eqnarray*} j(x)=x^5 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} j'(x)=5x^4 \end{eqnarray*}$ . Damit erhält man an Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \kappa _{rel}=\left|f'(x)\right| \end{eqnarray*}$

Ich vermute mal, dass $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ gegeben war, das würde $\begin{eqnarray*} j'(x_0)=5 \end{eqnarray*}$ erklären.

Sicher, dass da die absoluten (und nicht etwa die relativen) Konditionszahlen gesucht waren?

25.11.2013, 15:52

Lula90

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Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x)=|x|^{3} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} g'(x)=x^{3} \end{eqnarray*}$ ? Ach wegen der Betragsstriche, sie ich völlig außer Acht gelassen hab? Hammer

Aber welche Zahl muss ich denn einsetzen, wenn kein $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ gegeben ist?

Ja, in dem Beispiel war $\begin{eqnarray*} x_{0}=1 \end{eqnarray*}$ gegeben(hatte ich auch geschrieben Augenzwinkern

) und ja, ich soll nur die absolute angeben, ich gehe mal davon aus, die relative wird auf dem nächsten Übungszettel behandelt?!

ps. nette signatur Augenzwinkern

25.11.2013, 16:07

Math1986

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Zitat:

Original von Lula90
Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x)=|x|^{3} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} g'(x)=x^{3} \end{eqnarray*}$ ? Ach wegen der Betragsstriche, sie ich völlig außer Acht gelassen hab? Hammer

Nein, sorry:
$\begin{eqnarray*} g'(x)=\begin{cases}3\cdot x^2&x\geq0\\-3\cdot x^2&x<0\end{cases} \end{eqnarray*}$
Mein Fehler, sorry. Ändert aber auch nicht wirklich etwas, da es letzten Endes nur auf den Betrag ankommt.

Schau dir die Skizze oben an, dann siehst du, dass der Graph im negativen Bereich abfällt, die Steigung also negativ ist.

Zitat:

Original von Lula90
Aber welche Zahl muss ich denn einsetzen, wenn kein $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ gegeben ist?

Dann kannst du die Konditionszahl auch nicht berechnen, diese ist immer von einem konkreten Punkt abhängig.

Du kannst aber die Konditionszahl für allgemeines $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ aufstellen. So wird das wohl gemeint sein. $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist beleibig.

Zitat:

Original von Lula90
Ja, in dem Beispiel war $\begin{eqnarray*} x_{0}=1 \end{eqnarray*}$ gegeben(hatte ich auch geschrieben Augenzwinkern

)

Dann solltest du es auch erkennbar aufschreiben.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} j'(x)=5x^4 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} x_{0}=1 \end{eqnarray*}$

liest sich beim ersten Hinsehen wie $\begin{eqnarray*} j'(x)=5x^4\cdot x_{0}=1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Lula90
und ja, ich soll nur die absolute angeben, ich gehe mal davon aus, die relative wird auf dem nächsten Übungszettel behandelt?!

Das weiß ich doch nicht geschockt

25.11.2013, 16:24

Lula90

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Zitat:

Dann solltest du es auch erkennbar aufschreiben.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} j'(x)=5x^4 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} x_{0}=1 \end{eqnarray*}$

liest sich beim ersten Hinsehen wie $\begin{eqnarray*} j'(x)=5x^4\cdot x_{0}=1 \end{eqnarray*}$

Sorry, habs nicht gesehen, werd nächstes mal versuchen, alles erkenntlich zu machen.

Okay also doch $\begin{eqnarray*} g'(x)=3x^{2} \end{eqnarray*}$ , da der negative bereich ja rausfällt?
Reicht es dann, das $\begin{eqnarray*} g'(x_{0})= 3\cdot x_{0} ^{2} \end{eqnarray*}$ als Lösung anzugeben? Vielleicht mit dem Beispiel $\begin{eqnarray*} x_{0}=1, g'(1)=3 \end{eqnarray*}$

Zu b): Was bedeutet gut oder schlecht konditioniert? verwirrt

(ja, dass es einen Aufgabenteil b) gibt, war wohl auch nicht so leicht zu erkennen, nochmals sorry.)

25.11.2013, 16:42

Math1986

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Zitat:

Original von Lula90
Okay also doch $\begin{eqnarray*} g'(x)=3x^{2} \end{eqnarray*}$ , da der negative bereich ja rausfällt?
Reicht es dann, das $\begin{eqnarray*} g'(x_{0})= 3\cdot x_{0} ^{2} \end{eqnarray*}$ als Lösung anzugeben? Vielleicht mit dem Beispiel $\begin{eqnarray*} x_{0}=1, g'(1)=3 \end{eqnarray*}$

"Herausfallen" nicht wirklich, aber du betrachtest bei der Konditionszahl ja nur den Betrag. Schau nochmal an, wie diese definiert ist.

Zitat:

Original von Lula90
Zu b): Was bedeutet gut oder schlecht konditioniert?

Das solltest du ja nun wirklich selber nachschlagen. Gut konditioniert sagt man, wenn die Konditionszahl nahe Null ist, schlecht konditioniert, wenn diese sehr groß ist (jeweils betragsmäßig gesehen)

25.11.2013, 17:16

Lula90

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Stimmen also meine folgende Beispiele?
Gut konditioniert: $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R\setminus 0 \rightarrow \mathbb R\setminus 0: x\rightarrow \frac {1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$
Schlecht konditioniert: $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R: x\rightarrow x^2 \end{eqnarray*}$

25.11.2013, 17:34

Math1986

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Kannst du dir mal die Aufgabenstellung durchlesen? unglücklich

Zitat:

b) Geben Sie eine Funktion $\begin{eqnarray*} h\colon\mathbb R \rightarrow\mathbb R \end{eqnarray*}$ und zwei Stellen $\begin{eqnarray*} x_{1}, x_{2} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ an, sodass sie Auswertung von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ im Sinne der absoluten Kondition gut, die von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ im Sinne der absoluten Kondition schlecht konditioniert ist.

Außerdem solltest du auch begründen, warum dein Beispiel nun an den gegebenen Stellen gut bzw. schlecht konditioniert ist.

25.11.2013, 18:18

Lula90

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Das war nur zum Verständnis...

Nun zur Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} h: \mathbb R \rightarrow \mathbb R: x\rightarrow \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} x_{1}=0,01 \end{eqnarray*}$ gut konditioniert und für $\begin{eqnarray*} x_{2}=25 \end{eqnarray*}$ schlecht konditioniert?

26.11.2013, 09:24

Math1986

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Zitat:

Original von Lula90
Nun zur Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} h: \mathbb R \rightarrow \mathbb R: x\rightarrow \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} x_{1}=0,01 \end{eqnarray*}$ gut konditioniert und für $\begin{eqnarray*} x_{2}=25 \end{eqnarray*}$ schlecht konditioniert?

Mit welcher Begründung?

26.11.2013, 15:03

Lula90

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Wenn ich die werte in die Ableitung einsetze, wird die konditionszahl bei 0,01 sehr klein und bei 25 groß.

26.11.2013, 15:20

Math1986

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Zitat:

Original von Lula90
Wenn ich die werte in die Ableitung einsetze, wird die konditionszahl bei 0,01 sehr klein und bei 25 groß.

Wie sieht denn die Ableitung aus, und wie groß sind die Konditionszahlen genau?

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