Numerische Integration 0 bis unendl. mittels Gauß-Laguerre

26.11.2013, 14:34

Till1990

Numerische Integration 0 bis unendl. mittels Gauß-Laguerre

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich komme mit einer Aufgabe gerade absolut nicht weiter.

Es soll mittels Gauß-Laguerre-Quadratur und der Gewichtsfunktion $\begin{eqnarray*} exp(-x) \end{eqnarray*}$ ein Integral von $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.

Die Gauß-Laguerre-Quadraturformel vom Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ soll dabei die Form:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! f(x)exp(-x) \, dx \approx \sum\limits_{i=0}^n \lambda_i f(x_i) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Quadraturformel soll die Genauigkeit $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ haben.
$\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{0+1}=p_1=x-\alpha_1 q_0=1 <p_1,q_0>_\omega=0 <p_1,q_0>_\omega=\int_0^\infty \! p_1(x)q_0(x)exp(-x) \, dx = [exp(-x)(\alpha_1 -x -1)]_0 ^\infty=0-(\alpha_1-1) \Rightarrow \alpha_1=1 p_1(x)=x-1 \Rightarrow x_0=1 \Lambda_0=1\int_0^\infty \! exp(-x) \, dx=1 \end{eqnarray*}$

Dabei soll $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ die Auswertungsstelle für die Quadratur und $\begin{eqnarray*} \Lambda_0 \end{eqnarray*}$ das entsprechende Quadraturgewichte sein.

Setze ich auf den Ergebnissen basierend meine Berechnung für n=1 fort, so erhalte ich in der Formel $\begin{eqnarray*} p_{1+1}=p_2=(x-\alpha_2)p_1(x)-\beta_2^2p_0(x) \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \alpha_2=\frac{<xp_1,p_1\omega}{\Vert p_1\|_\omega^2} \end{eqnarray*}$ einen negativen Wert in der Wurzel der Norm.

Wo liegt denn bitte der Fehler, ich habe es jetzt schon 2 mal neu gerechnet?

Vielen Dank für eure Hilfe.

Zweiten Beitrag eingefügt und gelöscht. Steffen

Ich habe es gerade abgeschickt und selbst gesehen, dass ja Wurzel zum Quadrat drin steht, also der negative Wert in der Wurzel nicht so dramatisch ist.

Ist denn alles soweit richtig?

26.11.2013, 15:11

Math1986

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RE: Numerische Integration 0 bis unendl. mittels Gauß-Laguerre
Hallo,
Bis dahin ist alles richtig:

Zitat:

Setze ich auf den Ergebnissen basierend meine Berechnung für n=1 fort, so erhalte ich in der Formel $\begin{eqnarray*} p_{1+1}=p_2=(x-\alpha_2)p_1(x)-\beta_2^2p_0(x) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf diese Formel?

26.11.2013, 15:35

Till1990

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Die Formel habe ich aus dem Skript entnommen.
Dor steht:

Satz: Zu jedem Skalarprodukt mit einer Gewichtsfunktion gemäß der Definition gibt es eine eindeutig bestimmte Folge von Orthogonalpolynomen $\begin{eqnarray*} (p_k)_{k=0}^\infty \end{eqnarray*}$ , die die Rekursion

$\begin{eqnarray*} p_0(x)=1 p_1(x)=x-\alpha_1 ... p_k(x)= (x-\alpha_k)p_{k-1}(x)-\beta_k^2p_{k-2}(x) mit k= 2,3,... \alpha_k=\frac{<xp_{k-1},p_{k-1}>_\omega}{\Vert p_{k-1}\|_\omega^2} \beta_k=\frac{\Vert p_{k-1}\|_\omega}{\Vert p_{k-2}\|_\omega} \end{eqnarray*}$

26.11.2013, 15:46

Math1986

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Okay, und nun ist
$\begin{eqnarray*} \alpha_2=\frac{\left\langle xp_1,p_1\right\rangle_\omega}{\Vert p_1\|_\omega^2} \end{eqnarray*}$
Wo siehst du da nun ein Problem?

26.11.2013, 15:59

Till1990

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Das Problem sehe ich bei folgendem Schritt:

$\begin{eqnarray*} \beta_2=\frac{\Vert p_{k}\|_\omega}{\Vert p_{0}\|_\omega}=\frac{\sqrt{<p_1,\omega(x)>_\omega}}{\sqrt{<p_0,\omega(x)>_\omega}}=\frac{\sqrt{\int_0^\infty \! \omega(x)^2p_1(x) \, dx}}{\sqrt{\int_0^\infty \! \omega(x)^2p_0(x) \, dx}} =\frac{\sqrt{-12}}{\sqrt{1/2}} \end{eqnarray*}$

Man beachte hierbei, dass der Zähler von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ abgesehen vom quadrat gleich dem Nenner von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist. Bei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ wird das Problem durch das ^2 geregelt beim Beta stehe ich auf dem Schlauch.

$\begin{eqnarray*} p_1(x)=x-1 p_0(x)=0 \end{eqnarray*}$

26.11.2013, 16:06

Math1986

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Zitat:

Original von Till1990
Das Problem sehe ich bei folgendem Schritt:

$\begin{eqnarray*} \beta_2=\frac{\Vert p_{k}\|_\omega}{\Vert p_{0}\|_\omega}=\frac{\sqrt{<p_1,\omega(x)>_\omega}}{\sqrt{<p_0,\omega(x)>_\omega}} \end{eqnarray*}$

Wohl eher:
$\begin{eqnarray*} \beta_2=\frac{\Vert p_1\|_\omega}{\Vert p_0\|_\omega}=\frac{\sqrt{\left\langle p_1,p_1\right\rangle_\omega}}{\sqrt{\left\langle p_0,p_0\right\rangle_\omega}} \end{eqnarray*}$

(Fehler korrigiert)

26.11.2013, 16:21

Till1990

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Okay, das macht Sinn, sonst sind die Normaxiome ja nicht erfüllt. Gegenbeispiel in der Aufgabe =).

Steht leider falsch im Skript. Das hätte mir viel Zeit sparen können. smile

Danke für die Hilfe.

26.11.2013, 19:07

Math1986

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Naja, das Ganze ist eigendlich eine Standarddefinition für die aus einem Skalarprodukt erzeugte Norm.

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