Vollständige Induktion mit Ungleichungen

27.11.2013, 21:01

JensBeutel

Vollständige Induktion mit Ungleichungen

Meine Frage:
Es geht darum zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a^n+b^n}{2}\geq \big(\frac{a+b}{2}\big)^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a\geq 0, b\geq 0, n \epsilon \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt. Ich habe mit dem typischen Schema für einen Beweis mittels Induktion begonnen

Meine Ideen:
IA: a, b =0 n=1
$\begin{eqnarray*} \frac{0^1+0^1}{2} \geq (\frac{0+0}{2})^1 \end{eqnarray*}$
IS: $\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{a^n\cdot a}{2}+\frac{b^n\cdot b}{2}\geq \frac{a+b}{2}\cdot\frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$
Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter

27.11.2013, 21:18

jimmyt

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(I.A.) Beim Induktionanfang mußt du a und b nicht 0 setzen.

(I.S.)

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2}\geq \textcolor{red}{(\frac{a+b}{2})^{n+1}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{a^n\cdot a}{2}+\frac{b^n\cdot b}{2}\geq \textcolor{red}{\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a+b}{2}} \end{eqnarray*}$

Das rot markierte stimmt nicht, weil laut Potenzgesetz gilt: $\begin{eqnarray*} a^{n+1} ~=~ a^n \cdot a^1 \end{eqnarray*}$

Tipp:
Fange den I.S. mit $\begin{eqnarray*} \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n+1} \end{eqnarray*}$ an, versuche mit Potenzgesetz umzuformen damit die I.V. eingesetzt werden kann, und dann ein bißchen rechnen. smile

27.11.2013, 22:33

JensBeutel

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Ich habe da ein Fehler beim aufschreiben gemacht Augenzwinkern

ich habe mir stehen für den roten teil
$\begin{eqnarray*} (\frac{a+b}{2})^n\cdot (\frac{a+b}{2}) \end{eqnarray*}$

Trotzdem fehlt mir der nächste schritt.
weiter kann man das ja nicht auflösen

28.11.2013, 09:12

klarsoweit

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Du kannst jetzt aber auf $\begin{eqnarray*} (\frac{a+b}{2})^n \end{eqnarray*}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden. smile

28.11.2013, 21:48

JensBeutel

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nach IV ist
$\begin{eqnarray*} \frac{a^n+b^n}{2}\geq ( \frac{a+b}{2})^n \end{eqnarray*}$
aber jetzt steht da auf der rechten seite
$\begin{eqnarray*} \frac{a^n\cdot a}{2}+\frac{b^n\cdot b}{2}\geq ( \frac{a+b}{2})^n \cdot \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$
das bedeutet ja das ich nicht sagen kann dass nach IV
$\begin{eqnarray*} \frac{a^n+b^n}{2}\geq ( \frac{a+b}{2})^n \end{eqnarray*}$
gilt, weil auf der rechten Seite ja eine Multiplikation steht. Oder werfe ich da gerade irgend was durcheinnader?

28.11.2013, 23:36

jimmyt

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@klarsoweit : Machst du weiter, oder soll ich weiter machen? smile

@JensBeutel : Tipp:
Dreh doch das Ganze um, dann wird es einfacher (finde ich zumindest): Freude

(I.V.) für ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \left ( \frac{a+b}{2} \right )^n \leq \frac{a^n+b^n}{2} \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} \frac{a^n+b^n}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^n \end{eqnarray*}$

(I.B.) für das Nachfolgeelement n+1 muß dann gelten:

$\begin{eqnarray*} \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n+1} \leq \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2} \end{eqnarray*}$

(I.S.) aus (I.V.) muß (I.B.) folgen:
n->n+1:

$\begin{eqnarray*} \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n+1} ~=~ \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{n} \cdot \left ( \frac{a+b}{2} \right ) ~\stackrel{I.V.}{\leq}~ \dots ~\stackrel{*}{=}~ \dots ~\leq~ \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ kurze Nebenrechnung: $\begin{eqnarray*} \dots \end{eqnarray*}$

EDIT: Tipp 2: Nutze die Transitivität, aus a<b und b<c folgt a<c. Freude

EDIT-2: @klarsoweit : Ok, ich habe aber auch nichts dagegen, wenn du dich einklinkst wenn ich mal ein paar Stunden nicht online sein sollte. smile

29.11.2013, 09:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von jimmyt
@klarsoweit : Machst du weiter, oder soll ich weiter machen? smile

Gerne du. Ich kling mich nur ein, wenn du nicht da bist. smile

30.11.2013, 11:24

JensBeutel

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Okay das versuche ich mal

10.12.2013, 11:49

JensBeutel

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Kennt einer von euch ein buch, in der vollstaändig induktion gut erklärt ist? Mit ein paar besispielen. Ein Freund von mir hat mir den papula empfohlen aber da stand nichts zur vollstädnigen induktion

10.12.2013, 11:54

RavenOnJ

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Wozu gibt es Neuland Internet? Beispielsweise http://de.wikipedia.org/wiki/Vollständige_Induktion. Da wird alles gut erklärt.

10.12.2013, 19:49

jimmyt

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@JensBeutel : Einige Beispiele mit Lösungen sind z.B. hier zu finden. Aber versuche es bitte erst selber, bevor du dir die Lösungen anschaust. smile

15.12.2013, 12:41

JensBeutel

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Wunderbar danke. Denn ich komme da einfach nicht weiter