Endomorphismen

27.11.2013, 23:50

AlgebraII

Endomorphismen

Guten Abend,
ich habe diese Aufgabe zum Bearbeiten bekommen, aber blicke echt nicht worum es in dieser Aufgabe geht. Habe die Kapitel zu Endomorphismen durchsucht und auch kein Anhaltspunkt gefunden.

Falls jemand Ideen hat was ich zeigen soll, würden das schon sehr helfen.

28.11.2013, 09:28

RavenOnJ

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RE: Endomorphismen
Du kannst erst mal zeigen, dass es nur einen Eigenwert gibt. Außerdem, dass die zur Abbildung zugehörige Matrix nur Einträge auf der Hauptdiagonalen hat. Daraus folgt
$\begin{eqnarray*} f=\alpha \operatorname{id}_V \end{eqnarray*}$

28.11.2013, 10:04

AlgebraII

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Sei f ein Endomorphismus, für den alle $\begin{eqnarray*} 0\neq v \in V \end{eqnarray*}$ Eigenvektoren sind. Falls
diese Vektoren denselben Eigenwert $\begin{eqnarray*} \alpha\in V \end{eqnarray*}$ haben, dann ist $\begin{eqnarray*} f(v) = \alpha*v \end{eqnarray*}$ für alle
$\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f = \alpha*Id. \end{eqnarray*}$

Das zeige ich auch für mehrere Fälle. Das ist in Ordnung.

Und wie zeige ich dass die Matrix nur Einträge auf der Hauptdiagonalen hat?

28.11.2013, 10:16

RavenOnJ

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Damit zeigst du aber nicht, dass es nur einen EW gibt.

28.11.2013, 10:50

AlgebraII

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Dann nehme ich also an es gibt n- Eigenwerte von f. und Eine Basis aus den zugehörigen Eigenvektoren. Für zwei dieser Eigenvektoren die nicht gleich sind, ist die Summe nicht 0., daher Hat das Bild die Form $\begin{eqnarray*} f(v_i)+f(v_j)=f(v_i+f_j)=\lambda (v_i+v_j)=\lambda v_i+\lambda v_j \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} v_i ^ v_j \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, ist die Darstellung eines jeden Vektors in $\begin{eqnarray*} span (v_i,v_j) \end{eqnarray*}$ eindeutig. Daraus folgt das Lambda der einzige Eigenwert. von f.

Dann nehme ich an dass $\begin{eqnarray*} 0\neq v= \sum\limits_{i=1}^n \gamma _i*v_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(v)=\sum\limits_{i=1}^n \gamma f(v_i)=...=\lambda *v \end{eqnarray*}$ . und d.h. f=lambda *id

28.11.2013, 11:45

RavenOnJ

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Zitat:

Original von AlgebraII
Dann nehme ich also an es gibt n- Eigenwerte von f. und Eine Basis aus den zugehörigen Eigenvektoren. Für zwei dieser Eigenvektoren die nicht gleich sind, ist die Summe nicht 0., daher hat das Bild die Form $\begin{eqnarray*} f(v_i)+f(v_j)=f(v_i+v_j)=\lambda (v_i+v_j)=\lambda v_i+\lambda v_j \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} v_i , v_j \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, ist die Darstellung eines jeden Vektors in $\begin{eqnarray*} span (v_i,v_j) \end{eqnarray*}$ eindeutig. Daraus folgt das Lambda der einzige Eigenwert. von f.

Erst schreibst du, du nimmst n Eigenwerte (EW) an, dann benutzt du dies aber für deine Argumentation gar nicht, sondern operierst nur mit einem EW $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Du hast damit nur gezeigt, dass Summen von Eigenvektoren (EV) zum selben EW wieder EV zu diesem EW sind.

Nimm doch einfach mal an, es gebe zwei verschiedenen EW und die dazu gehörigen Eigenvektoren. Bilde dann die Abbildung der Summe dieser EV, die ja nach Voraussetzung wieder EV sein muss. Wären die beiden EW unterschiedlich, dann folgt daraus, dass der eine EV ein Vielfaches des anderen sein muss. Widerspruch.

Zitat:

Dann nehme ich an dass $\begin{eqnarray*} 0\neq v= \sum\limits_{i=1}^n \gamma_i*v_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(v)={\color{red}f(\sum\limits_{i=1}^n \gamma_i v_i) =\sum\limits_{i=1}^n \gamma_i f(v_i) =\sum\limits_{i=1}^n \gamma_i \lambda v_i=\lambda \sum\limits_{i=1}^n \gamma_i v_i}=\lambda v \end{eqnarray*}$ . und d.h. $\begin{eqnarray*} f=\lambda \operatorname{id}_V \end{eqnarray*}$

Abgesehen von den von mir rot markierten Verbesserungen/Ergänzungen ist das richtig.

28.11.2013, 19:09

AlgebraII

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Du hast ein super Verständis. Bei dieser Aufgabe fand ich es insb. schwierig zu sehen was zu zeigen war. Du hast Recht, der erste Teil ist quatsch. Hammer

Vielen Dank für Deine Hilfe. Freude

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