Oberfläche 3-eck-Pyramide

28.11.2013, 12:41	Pyramidlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Oberfläche 3-eck-Pyramide Hallo, ich kenne von einer Pyramide mit Dreiecksgrundfläche die Länge der Seiten a,b und c. sowie die Höhe der Pyramide h, deren Fußpunkt gleich dem Innkreisradius ist. Daraus kann ich Innkreis- und Umkreisradius berechnen. Für die Oberfläche benötige ich ja: $\begin{eqnarray} F_{ABC} = r s \end{eqnarray*}$ (r ist Innkreisradius, s der halbe Umfang) sowie die Fläche der drei Seitenflächen. Für die benötige ich ja aber die Seitenhöhen.. Wie berechne ich die?
28.11.2013, 14:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Weg über die Seitenhöhen ist hier nicht günstig. EDIT: Es geht doch! Sh. Leopolds Beitrag! Berechne lieber die Längen aller Seiten, also der Grundseiten AB, BC, AC und der Seitenkanten AS, BS und CS. Die Seitenkanten werden aus dem rechtwinkeligen Dreieck der Längen der Winkelsymmetralen* vom Eckpunkt bis zum Inkreismittelpunkt I und der Körperhöhe ermittelt. () Hinweis z. B. für die Länge AI: $\begin{eqnarray} w_{\alpha}^2 = (s - a)^2 + r^2 \end{eqnarray*}$ , ... Wenn alle Längen bekannt sind, wird der Rest mit 4 x Heron erledigt. mY+
28.11.2013, 14:23	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
oder wenn das vektorprodukt bekannt ist, mit diesem
28.11.2013, 15:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man in einem Seitendreieck von der Pyramidenspitze aus die Höhe fällt, erhält man immer $\begin{eqnarray} \sqrt{r^2+h^2} \end{eqnarray}$ als Länge. (Es sei $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ der Inkreismittelpunkt von $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ der Berührpunkt des Inkreises mit der Seite $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ . Mit der Pyramidenspitze $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ bestimmen $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ eine Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ . Der Vektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow{PB} \end{eqnarray}$ steht senkrecht auf $\begin{eqnarray} \overrightarrow{PW} \end{eqnarray}$ (Inkreis) und $\begin{eqnarray} \overrightarrow{WS} \end{eqnarray}$ (Pyramidenhöhe), also senkrecht auf $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ . Damit steht aber $\begin{eqnarray} \overrightarrow{PB} \end{eqnarray}$ auf jedem Vektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow{PX} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X \in E \end{eqnarray}$ senkrecht, insbesondere auf $\begin{eqnarray} \overrightarrow{PS} \end{eqnarray}$ .)
29.11.2013, 00:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold Wie schon oft, eine sehr elegante Überlegung. Alle Seitenhöhen sind gleich lang! Da habe ich meinen Beitrag entsprechend zu korrigieren
02.12.2013, 12:27	Pyramidlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich teste es doch glatt mal aus: Gegeben ist die dreiseitige Pyramide mit Spitze S und Grunddreieck ABC mit $\begin{eqnarray} a = 12 cm, b = 17 cm, c = 25cm, h = 8 cm \end{eqnarray}$ . (Der FUßpunkt der Höhe der Pyramide fällt in den Mittelpunkt des Inkreises von ABC). 1Gesucht: Neigungswinkel Beta der Seitenkante BS zur Grundfläche. 2Gesucht: Neigungswinkel Delta einer Seitenfläche zur Grundfläche 3Gesucht: Oberfläche 4Gesucht: Inhalt [Volumen??] Ich rechne im Folgenden ohne Einheiten. 1) $\begin{eqnarray} 2s = a+b+c = 54 \implies s = 27 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (s-a) = 15, (s-b) = 10, (s-c) = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) = 3^3 3 5 2 * 5 * 2 = 3^4 * 5^2 * 2^2 \implies F = 90 \end{eqnarray}$ R ist die Länge BI (Punkt B zum Innkreismittelpunkt I) r ist der Innkreisradius $\begin{eqnarray} r^2 = \frac{DB^2}{r^2} = \frac{10^2}{10^2/3^2} = 9 \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} r = 3 \end{eqnarray}$ (Längen sind ja positiv?) $\begin{eqnarray} tan (Beta) = h/R = 8/3 \implies Beta = arctan 8/3 \end{eqnarray}$ ? Muss ich den ohne Taschenrechner noch berechnen? Fertig. 2) $\begin{eqnarray} tan (Delta) = h/r = \frac{8}{10/3} = 12/5 \implies Delta = arctan (12/5) \end{eqnarray}$ ??? 3) $\begin{eqnarray} DS^2 = r^2 + h^2 = \implies DS = 26/3 \end{eqnarray}$ Jede Seitenfläche hat die gleiche Höhe. Oberfläche = F + F1 + F2 + F3 $\begin{eqnarray} F1 = F_{BCS} = (aDS)/2 = 54 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F2 = F_{ACS} = (bDS)/2 = \frac{1713}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F3 = F_{ABS} = (cDS)/2 = \frac{2513}{3} \end{eqnarray}$ Also Oberfläche = mit etwas rumrechnen und erweitern der Brüche = 326 FE 4) Volumen = 1/3 * g* h = 90/3 * 8 = 30*8 = 240 VE
Anzeige

03.12.2013, 23:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
r ist NICHT 3 (Rechenfehler), denn r = F/s = 90/27 = 10/3 ____________ DS = 26/3, das hast du unerklärlicherweise richtig, das bekommst du allerdings NICHT mit r = 3, sondern eben mit r = 3 1/3. mY+

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »