große Exponenten in Ungleichung

28.11.2013, 17:31	Sidney Huffman	Auf diesen Beitrag antworten »
große Exponenten in Ungleichung Hallo, gesucht ist ein möglichst eleganter Beweis der Aussage $\begin{eqnarray} 3 7^{81} * 22^{544} < 19^{625} \end{eqnarray*}$ . LaTeX-Tags eingefügt. Steffen Ein Vergleich des natürlichen Logarithmus beider Seiten ergäbe ja schnell (< 1821 bzw. > 1840), dass die Aussage wahr ist. Könnte man die Ungleichung eleganter umformen, z. B. indem man möglichst innerhalb der natürlichen Zahlen operiert? Wenn das hier eher in das Unterforum für Rätsel gehört hätte, kann das vielleicht dorthin verschoben werden, ich habe aber nicht die von mir nachgefragte, elegante Lösung. SH
30.11.2013, 13:27	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: große Exponenten in Ungleichung Mithilfe der Primfaktorzerlegung folgt: $\begin{eqnarray} 3 7^{3^4} * (211)^{2^517} < 19^{5^4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} kgV(81, 544, 625) = 2^53^45^417 \end{eqnarray}$ Soviel von meiner Seite. Viel Spaß beim Knobeln .
30.11.2013, 15:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
@Sidney Huffman Die Werte liegen viel enger beieinander, als du hier suggerierst. Tatsächlich ist $\begin{eqnarray} \ln(3\cdot 7^{81}\cdot 22^{544}) = \ln(3) + 81\ln(7)+544\ln(22) \approx 1840.244 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ln(19^{625}) = 625\ln(19) \approx 1840.274 \end{eqnarray}$ Also nix mit <1821. Mit groben Abschätzungen wird man also nicht sehr weit kommen.
30.11.2013, 16:31	Sidney Huffman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: große Exponenten in Ungleichung Zu dem Hinweis von 13:27 Uhr: Mit dem Resultat dieser Folgerung komme ich leider nicht weiter. Sie ist zwar richtig, da jedoch kgV(81, 544, 625) = 81544625 gilt, also auf dem Weg vom "bloßen Produkt" 81544625 hin zu seinem kgV kein redundanter Primfaktor "wegfällt", vermute ich, dass der Lösungsweg hierdurch nicht an Eleganz gewinnen kann. Diese pessimistische Sichtweise kann aber auch daran liegen, dass ich den weiteren Weg vom Ansatz $\begin{eqnarray} 3 7^{3^4} * (211)^{2^517} < 19^{5^4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} kgV(81, 544, 625) = 2^53^45^417 \end{eqnarray}$ ausgehend überhaupt nicht erkenne. Wenn das der erste Schritt in die zielführende Richtung gewesen sein soll, was wäre dann ein möglicher zweiter? $\begin{eqnarray} \Rightarrow \qquad ? \end{eqnarray}$ Ein Schritt, der nicht funktioniert, war die Idee, die 19^625 nach unten abzuschätzen, also sie geringfügig zu verkleinern, ohne dass die Ungleichung von "wahr" nach "falsch" um"kippt". Wenn man zum Beispiel $\begin{eqnarray} 19^{625} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} 19^{624}18 \end{eqnarray*}$ ersetzt, dann wäre man den Faktor 3 los (und eine 2 von einer der 544 Zweiundzwanziger). Aber schon bei diesem Schritt kippt sie von wahr nach falsch. @HAL 9000 ja, dass ich den natürlichen Logarithmus der linken Seite falsch angegeben habe, stimmt. Das Zustandekommen dieser Falschangabe kann ich mir jetzt auch nicht mehr erklären - vielleicht ein Ergebnis fehlerhafter Autosuggestion . Vielen Dank für die Klarstellung und auch danke an Steffen Bühler für die korrekten LaTeX-Tags.
30.11.2013, 17:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde an deiner Stelle nicht allzu viel grübeln über den Hinweis (?!) von DrummerS - ich wäre ehrlich überrascht, wenn da wirkliche Substanz dahinter steckt, in Hinblick auf dein Problem. Auf alle Fälle viel zu subtil für meinen bescheidenen Intellekt.
30.11.2013, 18:37	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Sidney Huffman Den oben beschriebenen, sinnvollen Ansatz habe ich dargelegt, da etwas in dieser Art bisher weder diskutiert noch für zielführend bzw. nicht zielführend erklärt wurde. Ab dem genannten kgV komme ich ebenfalls nicht weiter. @ Hal 9000 Kann gut sein. Deine letzte Bemerkung verstehe ich nicht. Meintest du eigentlich die Gegenwörter von "subtil" und "bescheiden"?
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30.11.2013, 19:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte, dass dein Hinweis "viel zu hoch" für mich ist, sollte er denn zu dem Erfolg führen.

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