Inverse Matrix berechnen, dürfen Zeilen vertauscht werden? |
| 28.11.2013, 19:36 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Inverse Matrix berechnen, dürfen Zeilen vertauscht werden? ich möchte das Inverse einer 4x4 Matrix berechnen. Dies mache ich normalerweise wie folgt: dies forme ich dann um, bis ich das Folgende erhalte: Die Matrix mit den Einträgen e bis h ist die Inverse zu der Matrix mit den Einträgen a bis d. Meine Frage ist: Darf ich bei diesem Vorgehen auch Zeilen vertauschen, wenn mir dies geschickt zur Berechnung erscheint? Im Allgemeinen darf man das ja bei linearen Gleichungssystemen. Nur ist die Matrix, die ich am Ende als Inverse erhalte, ja unterschiedlich, je nachdem in welcher Reihenfolge ich die Zeilen geschrieben habe... Wenn ich also die Zeilen z.B. wie folgt vertausche, kann ich dann trotzdem auf der linken Seite wieder die Einheitsmatrix anstreben? Genügt es dann am Ende einfach wieder die erste und letzte Zeile der inversen Matrix zu vertauschen, um die richtige Inverse zu erhalten? lg Duude |
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| 28.11.2013, 20:04 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, du darfst Zeilen vertauschen und du musst auch am Schluss nicht mehr zurücktauschen. Wenn du stets auf beiden Seiten die gleichen Operationen durchführst, wie auf der rechten Seite und du am Ende links die Einheitsmatrix stehen hast, dann steht rechts die Inverse (ohne voriges Zeilenzurücktauschen !) |
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| 30.11.2013, 14:33 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank für die Antwort. Ich habe ein wenig damit gehadert, dass ich das einfach so machen darf aber es mir jetzt damit erklärt, dass ich ja am Ende links die Einheitsmatrix stehen haben muss. Das ist ja eine feste Bedingung. Das heißt anschaulich, wenn ich zwei Zeilen vertausche (und das vllt nicht so sinnvoll war), muss ich das nachher durch andere Operationen wieder "ausgleichen", um die Einheitsmatrix zu erhalten. So erhalte ich immer dasselbe Ergebnis für die Inverse. Könnte man sich das so erklären? |
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| 01.12.2013, 11:27 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich würde es folgendermaßen erklären: Üblicherweise löst man mit Gauß ein LGS für eine rechte Seite (die man rechts neben die Koeffizientenmatrix schreibt). Bei der Berechnung der Inversen der Koeffizientenmatrix schreibt man sich nicht nur eine rechte Seite daneben sondern n, nämlich die Spalten der Einheitsmatrix. Durch Gauß-en löst man dann nicht nur ein LGS sondern simultan n LGS. Also darf man bei der Berechnung der Inversen nach diesem Schema alles tun, was man bei Lösung eines LGS auch tun darf - einschließlich Zeilenvertauschung. |
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| 02.12.2013, 23:53 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, allerdings ist bei den n LGS die Reihenfolge der Lösungen egal (also ob in der ersten Spalte das erste oder das 2. LGS steht). Bei der inversen Matrix ist es nicht egal, in welcher Reihenfolge die Spalten da stehen. Aber das wird dann wohl wieder durch mein vorheriges Argument erschlagen.. dass ich mit der angestrebten Einheitsmatrix links eine feste Größe habe, durch die die Eindeutigkeit rechts gesichert ist. Ok, das erklärt, dass ich alle Operationen, die ich beim Gauß anwenden kann, auch bei der Berechnung der Inversen verwenden kann, also auch das Vertauschen von zwei Zeilen... Danke |
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