separable Körpererweiterung

29.11.2013, 16:39

Jolly Roger

separable Körpererweiterung

Meine Frage:
Sei K ein Körper der Charakteristik p, $\begin{eqnarray*} L/K \end{eqnarray*}$ eine Körpererweiterung mit $\begin{eqnarray*} [L:K]<\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p\nmid [L:K] \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} L/K \end{eqnarray*}$ separabel ist.

Meine Ideen:
Sei K endlich dannn ist der Frobenius-Homomorphismus ein Isomorphismus (damit ist K vollkommen) und da die Erweiterung endlich und somit algebraisch ist folgt dass die Erweiterung separabel ist. (Dies ist für algebraische Erweiterungen vollkommener Körper)
Wie ist das aber nun für K nicht endlich, hat jemand eine Idee?

29.11.2013, 17:14

tmo

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Wie sehen denn inseparable Polynome über einem Körper der Charakteristik $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ zwangsweise aus? Welchen Grad haben sie?

29.11.2013, 17:23

Jolly Roger

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$\begin{eqnarray*} X^{pq}-t \end{eqnarray*}$ ??

29.11.2013, 17:37

tmo

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Ja, das wäre eins.

Aber das hilft ja nicht. Wir brauchen eine allgemeine Aussage über solche Polynome.

Schau dir nochmal den Beweis an, dass endliche Körper perfekt sind. Dort wird u.a. benutzt wie inseparable Polynome aussehen.

29.11.2013, 17:52

Jolly Roger

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Also meinst du $\begin{eqnarray*} P(X)=X^p-Y \in\mathbb{F}_p(Y)[X] \end{eqnarray*}$

29.11.2013, 18:21

tmo

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Das ist doch wieder nur ein einziges Beispiel für ein inseparables Polynom.

Wir gehen die Sache mal anders an.

Du solltest doch kennen: Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ irreduzibel und $\begin{eqnarray*} f' \neq 0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ separabel.

Nun nimm dir ein $\begin{eqnarray*} a \in L \end{eqnarray*}$ und zeige mit der obigen Aussage, dass das Minimalpolynom separabel ist.

29.11.2013, 18:45

Jolly Roger

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ja kenn ich. da werd ich wohl nochmal scharf drüber nachdenken

29.11.2013, 18:47

Jolly Roger

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$\begin{eqnarray*} \mu_\alpha \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel und nicht konstant also die Ableitung ungleich 0 und daher separabel. also ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ separabel. ach ja weil die Erweiterung doch endlich also algebraisch ist, ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ algebraisch und dann passt das mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ separabel

29.11.2013, 19:13

Captain Kirk

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Zitat:

also die Ableitung ungleich 0 und daher separab

Das ist schlicht falsch.
Wen dem so wäre gäbe es keine inseparablen Polynome.

Zitat:

ist $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ algebraisch und dann passt das mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ separabel

Auch das ist sonderbar. Wann ist denn ein nicht-algebraischen Element separabel?
Ichkenn den Begriff der Sepearabiltät nur für algebraische Elemente.

30.11.2013, 11:09

Jolly Roger

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also ich hab mich da wohl auch ein bisschen schlampig ausgedrückt.
Wir haben für eine Körpererweiterung $\begin{eqnarray*} L/K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ algebraisch mit Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \mu_\alpha \end{eqnarray*}$ folgende äquivalenzen
$\begin{eqnarray*} i) \alpha \text{ ist separabel } ii) \mu_\alpha \text{ ist separabel} iii)\alpha \text{ ist einfache Nullstelle von } \mu_\alpha iv)\mu_\alpha' \ne 0 \end{eqnarray*}$
so und da $\begin{eqnarray*} [L:K]<\infty \end{eqnarray*}$ ist die Erweiterung algebraisch also $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ algebraisch. Nun muss ich doch irgendwie folgern dass $\begin{eqnarray*} \mu_\alpha'\ne 0 \end{eqnarray*}$ ist, was wohl irgendwie mit $\begin{eqnarray*} p\nmid [L:K] \end{eqnarray*}$ zu tun hat. Also $\begin{eqnarray*} p \nmid [K(\alpha):K]=\deg \mu_\alpha \end{eqnarray*}$

30.11.2013, 11:31

tmo

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Ja, genau. $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilt nicht den Grad von $\begin{eqnarray*} \mu_\alpha \end{eqnarray*}$ ist genau das, was du brauchst.

Denn daraus folgt (ich würde sagen sogar trivialerweise), dass die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \mu_\alpha \end{eqnarray*}$ nicht verschwindet.

30.11.2013, 11:50

Jolly Roger

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ja gut und weil das nun für alle $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gilt ist die Körpererweiterung separabel.

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