Konvergenz von Verteilungsfkt.

30.11.2013, 13:56	TerranerTom	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Verteilungsfkt. Hallo an alle. Mein erster Beitrag in diesem Forum und ich bin schon echt gespannt, ob mir jemand helfen kann. Ich hab nämlich extreme Probleme mit einer Aufgabe. Ich verstehe sie nicht wirklich und schon gar nicht wie ich die lösen soll. Also erstmal zu Aufgabe: Zu zeigen: Sind $\begin{eqnarray} F_0,F_1,F_2,... \end{eqnarray}$ Verteilungsfunktionen, so konvergiert $\begin{eqnarray} (F_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ bezüglich der Levy-Metrik $\begin{eqnarray} \rho_L \end{eqnarray}$ genau dann gegen $\begin{eqnarray} F_0 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} F_n \end{eqnarray}$ punktweise für alle Stetigkeitspunkte von $\begin{eqnarray} F_0 \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} F_0 \end{eqnarray}$ konvergiert. Als Erläuterung ist die Levy-Metrik dann noch angegeben: $\begin{eqnarray} \rho_L(F,G):=inf\{\epsilon>0:F(x-\epsilon)-\epsilon\le G(X)\le F(x+\epsilon)+\epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R}\} \end{eqnarray}$ Und nun steh ich da und weiß nicht mehr wo hinten und vorne ist. Ich bitte dringendst um Hilfe!!!
03.12.2013, 09:39	RAP	Auf diesen Beitrag antworten »
Grüß Dich, also mit den Ungleichungen bei der Definition der Metrik lässt sich bestimmt ein Zusammenhang zur Stetigkeit finden. Ach ja - Du meinst doch bestimmt ein $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ , gegen das die Folge konvergiert und nicht $\begin{eqnarray} F_{0} \end{eqnarray}$ , also wieder das erste Folgenglied? Wenn also $\begin{eqnarray} \rho_{L}(F,F_{n}) \rightarrow 0 \Leftrightarrow \rho_{L}(F_{n},F) \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ , dann ergibt sich jeweils für umstellen der Ungleichungen in der Definition der Metrik: 1) $\begin{eqnarray} F(x- \epsilon) - F_{n}(x) < \epsilon \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} F_{n}(x) - F(x+\epsilon) < \epsilon \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} F_{n}(x- \epsilon) - F(x) < \epsilon \end{eqnarray}$ 4) $\begin{eqnarray} F(x) - F_{n}(x+\epsilon) < \epsilon \end{eqnarray}$ Bzw. gehen alle 4 Ausdrücke auf der linken Seite gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \epsilon \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ . Subtrahiert man nun z.B. 3) von 1), so bekommt man: $\begin{eqnarray} F(x- \epsilon) - F_{n}(x) - F_{n}(x - \epsilon) + F(x) \rightarrow 0 (\epsilon \rightarrow 0) \end{eqnarray}$ und das sieht doch schon mal ganz gut aus. Ich hoffe, das hilft Dir weiter!
04.12.2013, 10:25	TerranerTom	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey... Nee da steht schon $\begin{eqnarray} F_0 \end{eqnarray}$ . Aber ich denke mal das soll einfach nur eine der vorhandenen Verteilungsfunktionen darstellen. Allerdings weiß ich nicht so direkt was du mit deinem gezeigten erreichen möchtest. Du hast doch quasi die Konvergenz von $\begin{eqnarray} F_n \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} F_0 \end{eqnarray}$ vorausgesetzt und dann gezeigt, dass die Metrik gegen Null geht, richtig? Aber wie zeige ich die Rückrichtung?
04.12.2013, 10:50	RAP	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne andersrum: Ich hab mit der Konvergenz der Metrik begonnen und aus der letzten Zeile in meinem Beitrag kann man dann die punktweise Konvergenz folgern. Andersrum wird's dann mit den vier einzelnen Ungleichungen auch recht schnell klar: Angenommen es liegt punktweise Konvergenz in den Stetigkeitspunkten vor. Dann ist jetzt die Gültigkeit der vier einzelnen Ungleichungen zu zeigen. Das kriegt man dann ganz schnell hin: Gilt nämlich $\begin{eqnarray} F_{n}(x) \rightarrow F(x) \end{eqnarray}$ für alle Stetigkeitspunkte, so ergibt sich $\begin{eqnarray} F(x- \epsilon) - F_{n}(x) \rightarrow F(x - \epsilon) - F(x) (n \rightarrow \infty) \end{eqnarray}$ und weiter $\begin{eqnarray} F(x - \epsilon) - F(x) \rightarrow 0 (\epsilon \rightarrow 0) \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ Stetigkeitspunkt von F. Und so ähnlich weiter für die anderen Gleichungen.
06.05.2016, 20:17	Dieterf	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wo wird gezeigt, dass es sich bei der punktweisen Konvergenz um Stetigkeitsstellen handelt?

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