Matrix

30.11.2013, 18:58	smily14	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix Hallo zusammen gegeben ist die Matrix: A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hierzu muss ich nun: a) den Rang b) den Kern c) das Bild d) die Determinante Bestimmen. e) Ist das reelle Gleichungssystem Ax=b für alle b $\begin{eqnarray} \in R^{4} \end{eqnarray}$ eindeutig lösbar? Also ich habe bis jetzt: a) Rang=4 b) Ker= 0 (der Nullvektor) d) det=18 ist das so richtig? und ich habe Probleme, wie ich das Bild bestimmen kann.. die Definition ist für mich noch sehr schwer zu begreifen! und bei Teilaufgabe e) weiß ich leider auch nicht genau wie ich ansetzten soll... ich würde sagen: da der Rang der Matrix voll ist, ist das Gleichungssystem auch eindeutig lösbar! kann man das so sagen? freue mich auf eure Hilfe
01.12.2013, 11:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Determinante von A ist nicht 0 genau dann wenn der Rang von A gleich 4 ist genau dann wenn die Matrix invertierbar ist genau dann wenn die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \phi_A:R^4\to R^4 \end{eqnarray}$ bijektiv ist. Jetzt alles klar mit b), c) und e) ?
01.12.2013, 13:47	smily14	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal danke aber das ging mir jetzt bisschen zu schnell! ich weiß leider durch die antwort immer noch nicht wie man des bild findet! ich habe mal gelesen, das es die spalten der Matrix sind! aber reicht es einfach die spalten hinzu schreiben?
01.12.2013, 17:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Rangsatz sagt: $\begin{eqnarray} dim V=dim(Kern(\phi))+dim(Bild(\phi))=dim(Kern(\phi_A))+Rang(A) \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ bijektiv war aber in diesem Beispiel schon klar, dass $\begin{eqnarray} Bild(\phi)=R^4 \end{eqnarray}$ .

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