Supremum, Infimum bestehen

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grünes Blatt Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum, Infimum bestehen
Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe ein Problem mit einer Aufgabe.
[latex]<br />
M_{1} = (x\in \Bbb Q | x^{2} < 2) \subset \mathbb R  <br />
 und <br />
 M_{2} = (x\in \Bbb Q | x^{2} > 2) \subset \mathbb R <br />
[/latex]
Ich soll bestimmen, ob diese Mengen ein Supremum und/oder ein Infimum besitzen. Wenn sie eins davon besitzen, soll ich dieses angeben.

Meine Ideen:
Bisher weiß ich, dass ein Supremum die kleinste obere Schranke und ein Infimum die größte untere Schranke ist; das es sozusagen der 1. Wert ist, der über bzw. unter der Schranke liegt. Liegen die Werte noch in der Menge, nennt man diese auch Maximum oder Minimum
Das Supremum wird mit sup M angegeben und das Infimum mit inf M.
Richtig soweit?
Ich versuche aus den Teilen etwas abzuleiten
[latex]<br />
x^{2} < 2<br />
x < \sqrt{2}<br />
<br />
und <br />
<br />
x^{2} > 2<br />
x > \sqrt{2}<br />
[/latex]

Ich würde sagen, dass die 1. Menge nach oben beschränkt ist und die 2. Menge nach unten beschränkt. Der Wert muss unter dem Wurzelwert von 2 liegen, diesen genau zu bestimmen, ist aber nicht möglich, das ist aber wiederum für ein Supremum gefordert. Das Gegenteilige ist bei der 2. Menge, dessen Wert muss über dem Wurzelwert von 2 liegen. An dieser Stelle komme ich nicht weiter.

Ist es bis dahin richtig? Wie kann ich am besten weitermachen?
YogSothoth Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum, Infimum bestehen
Moin,

da ist dir ein Fehler unterlaufen, denn
[latex]x^2< 2\Rightarrow |x|<\sqrt 2[/latex]
und analog für [latex]x^2>2[/latex].
Du darfst hier nicht vergessen, dass x auch negative Werte annehmen kann.
Wie sehen die Mengen dann aus?
 
 
grünes Blatt Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wurzel aus 2 besitzt etliche Nachkommastellen.
Wenn wir den Betrag außer acht lassen, haben wir z.B. den Wert x1= 1,4142.... und x2 = -1,4142.....

Müssen wir den Betrag setzen? Die rationalen und die reelen Zahlen beinhalten doch die negativen Zahlen.

Für Menge eins kommen dann alle Werte bis x < 1,4142 in Frage und für die Menge 2 müssen alle Werte über x > 1,4142 liegen.
Also müsste dieser Wert dann jeweils das Supremum bzw. Infimum oder?
Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

den Betrag darfst du hier nicht einfach weglassen, da für [l] x < \sqrt{2}[/l] etwa [l] -5 \in M_{1}[/l] gelten würde, was doch offensichtlich falsch ist Augenzwinkern
grünes Blatt Auf diesen Beitrag antworten »

ah, ja ganz eindeutig.

Kann ich jetzt daraus schließen, das es für M1 ein Supremum und ein Infimum gibt?
[latex]x^2< 2\ = |x|<\sqrt 2[/latex]
Wäre dann das Supremum x= 1,4142.... und das Infimum = Supremum - 2 |x| ?
YogSothoth Auf diesen Beitrag antworten »

Eine kurze Richtigstellung, es muss
[latex]x^2< 2\Leftrightarrow|x|<\sqrt 2[/latex]
heißen.
Mit dem Supremum liegst du richtig, aber schreibe doch einfach [latex]\sqrt 2[/latex]. Das Infimum ist zwar richtig, aber etwas umständlich geschrieben, denn es ist einfach [latex]-\sqrt 2[/latex].

Was bedeutet das jetzt für [latex]M_2[/latex]?
grünes Blatt Auf diesen Beitrag antworten »

[latex]x^2> 2\Leftrightarrow|x|>\sqrt 2[/latex]

Ein Supremum dürfte es hier nicht geben, da es nach oben keine Schranke gibt. Ein Infimum muss es allerdings geben, da sonst die Bedingung nicht erfüllt wäre.
Infimum = [latex]\sqrt 2[/latex].

Eine Frage noch, warum setzt man an der Stelle eine Äquivalenz [latex] \Leftrightarrow[/latex] und kein = ? Liegt es daran, dass wir den Term wegen des Betrages verändern und es deswegen nur noch äquivalent anstatt gleich ist?
YogSothoth Auf diesen Beitrag antworten »

Dass es kein Supremum gibt ist richtig Freude
Aber welche Bedingung wäre denn verletzt, wenn es kein Infimum gibt?

Den Äquivalenzpfeil setzt man, da sowohl [latex]x^2>2[/latex] als auch [latex]|x|>\sqrt 2[/latex] Aussagen sind. Mit = kann ich Elemente vergleichen, keine Aussagen.
grünes Blatt Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir einen kleineren Wert für x nehmen würden, dann wären die Bedingungen nicht erfüllt
z.B.
[latex]x^2>2[/latex]
[latex]1^2>2[/latex] -> f.A.

[latex]|x|>\sqrt 2[/latex]
[latex]|1|>\sqrt 2[/latex] -> f.A.
YogSothoth Auf diesen Beitrag antworten »

Auch hier musst du wieder an die negativen Werte denken, denn z.B. gilt auch [latex]|-5|=5>\sqrt 2[/latex].
grünes Blatt Auf diesen Beitrag antworten »

dann würde diese Schranke also wieder bis
[latex]-\sqrt 2[/latex]gehen. Alle Werte die kleiner sind, wären wieder möglich.

Ist das denn ein 2. Infimum?
YogSothoth Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, diese Menge hat tatsächlich kein Infimum. Wie du richtig sagtest sind alle Werte kleiner als [latex]-\sqrt 2[/latex] möglich.
Das (es gibt nur maximal ein Infimum !) Infimum würde die Menge nach unten beschränken, aber da eben alle Werte kleiner als [latex]-\sqrt 2[/latex] in der Menge liegen kann sie nicht nach unten beschränkt sein.
grünes Blatt Auf diesen Beitrag antworten »

ok also spielt es keine Rolle, dass es keine Werte für für diese Aussage in dem Bereich

[latex]-\sqrt2 \leq x \leq \sqrt2[/latex] geben dürfte? Muss man dieses dennoch Kennzeichnen oder spielt es keine Rolle, da es in der Aufgabenstellung nicht gefragt ist?
YogSothoth Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Aufgabe ist eigentlich nur Interessant welche Elemente in der Menge liegen.
Diese sind halt nicht zwischen [latex]-\sqrt 2[/latex] und [latex]\sqrt 2[/latex] zu finden aber dafür ansonsten in ganz [latex]\mathbb Q[/latex].
grünes Blatt Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke smile
alles verstanden und keine weiteren Fragen!
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