Basis von Kern F berechnen?

02.12.2013, 10:43

bob123

Basis von Kern F berechnen?

Gegeben ist das hier:

[attach]32267[/attach]

Wie berechne ich jetzt die Basis von Kern F in Mod 2?

Dim(Kern F) ist 3.

Lösungsmenge:
-x3-x5
-x3-x6
x3
-x5-x6
x5
x6

x3,x5,x6 Element der reellen Zahlen. Lösungsansatz: Ich muss 1 und 0 einsetzen aber für was muss ich was einsetzen...

02.12.2013, 10:56

klarsoweit

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RE: Basis von Kern F berechnen?

Zitat:

Original von bob123
Wie berechne ich jetzt die Basis von Kern F in Mod 2?

Bring mal die Matrix in Zeilenstufenform.

02.12.2013, 10:59

mengi

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Zitat:

x3,x5,x6 Element der reellen Zahlen

Wieso reelle Zahlen? Die kommen in der AUfgabe nirgends vor.

Das was du unter Lösungsmenge schreibst ist vollkommen unverständlich und definitiv keine Menge.

Zitat:

Wie berechne ich jetzt die Basis von Kern F in Mod 2?

Genau wie in jedem anderen Körper. Kern bestimmen (mit Gauß oder Ähnlichem) und dan eine Basis des Raums angeben.

02.12.2013, 11:18

bob123

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist meine Matrix...

Und wenn ich die Lösungen rauslese aus der Matrix ist x1 = -x3-x5 ... x2 = -x3-x6 ...

Dabei gilt es ja um den Kern zu berechnen: Ax = 0 = Kern F.
Rang(A) = 4, sind 4 nicht-null Zeilen.
Spalten sind 6.
laut Formel: Rang A + dim(Kern A) = Spalten A

Müsste dim(Kern A) = 3 sein.

Wenn es soweit stimmt.... müsste ich jetzt hilfe bezüglich Berechnung der Basis haben, ansonsten hilfe bezüglich berechnung des kerns.

02.12.2013, 11:42

klarsoweit

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Bestimme die frei wählbaren Variablen bzw. die nicht wählbaren Variablen.
Die nicht frei wählbaren Variablen sind dabei genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des homogenen GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null. Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig.

02.12.2013, 12:15

bob123

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NICHT Frei wählbar, x1,x2,x4
Frei wählbar, wäre dann x3,x5,x6.

D.h. ich setze jetzt

einfach x3 = 1.

-1-0 = -1 mod 2 = 1
-1-0 = -1 mod 2 = 1
1
0
0
0

-1 - x5 = 0 <-> | +1 , x5 = 1
-1 - x6 = 0 <-> | +1 , x6 = 1
x5-x6 = 0 <-> 1+1 = 2 mod 2 = 0

Stimmt das? Also hab ich nun was als Basis? Das oben oder muss ich jetzt:
alles einsetzen und das als Basis ansehen? Wie viele Basen gibts denn für dim(Kern f), eine oder?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 1 1 0 0 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.12.2013, 12:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von bob123
Wie viele Basen gibts denn für dim(Kern f), eine oder?

Die Frage ist eher zweitrangig. Wichtiger ist die Frage, aus wieviel Vektoren eine Basis besteht. Und die Frage ist mit der Dimension des Kerns schon beantwortet.

Zitat:

Original von bob123
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die 1. Komponente ist falsch, wie man auch leicht prüfen kann.

Für die weiteren Vektoren setzt du x3=0, x5=1, x6=0 usw.

02.12.2013, 13:16

bob123

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1-0 = 1 mod 2 = 1 -1-0 = -1 mod 2 = 1 1 0 0 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ [/quote]

Hab nun nochmal nachgeprüft und komm auf das hier, wenn man für x3 = 1 einsetzt.

Also gibts 3 basen insgesamt?

02.12.2013, 13:28

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Zitat:

Original von bob123
Hab nun nochmal nachgeprüft und komm auf das hier, wenn man für x3 = 1 einsetzt.

Richtig.

Zitat:

Original von bob123
Also gibts 3 basen insgesamt?

Ich habe dir in meinem vorigen Beitrag schon versucht nahezubringen, daß es nicht um die Anzahl der Basen geht, sondern um die Anzahl der Basisvektoren (= Dimension des Kerns).

02.12.2013, 16:26

bob123

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[attach]32273[/attach]

Diesmal mit komplexen Zahlen...

Ich hab da raus nach Umformung und Lösungsmenge:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & i & 1-i \\ 0 & 2 & -2i \\ 0 & 0 & 2+2i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 0
Lösungsmenge dann:

-i*x2-(1-i)x3
-i*x3
(2+2i)x3

Meine Frage: Laut Formel: Rang A + dun Jer A = Spalten A, müsste es ja eine Dim Kern 0 sein.
Ich hab aber jetzt doch ne dim raus, heißt das meine Lösung ist falsch oder wo hab ich den Denkfehler oder wie?

03.12.2013, 09:20

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Zitat:

Original von bob123
Lösungsmenge dann:

-i*x2-(1-i)x3
-i*x3
(2+2i)x3

Die Schreibweise deiner "Lösungsmenge" ist mehr als fragwürdig. Im übrigen entsteht bei richtiger Umformung in der 3. Zeile eine Nullzeile. smile