Folge beschränkt: Nachweis

02.12.2013, 12:30

qwoppo

Folge beschränkt: Nachweis

Meine Frage:
Hallo! Ich bräuchte dringend Hilfe bei der Lösung der folgenden Aufgabe:

Man entscheide, ob die Folge a(n)=n*(n^(n^-1)-1) beschränkt ist.

Sei r aus Q und 0<r<1. Was kann man über b(n)= (n^r)*(n^(n^-1)-1) sagen?

Danke schonmal im Voraus!

Meine Ideen:
Ich nehme an, dass sie nach unten durch null beschränkt ist und nach oben nicht, hab aber keine Ahnung, ob das stimmt oder wie ich das beweisen soll unglücklich

02.12.2013, 14:49

Grautvornix

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RE: Folge beschränkt: Nachweis
Hmh, also die Folge

$\begin{eqnarray*} a_n=n^n-n \end{eqnarray*}$

ist so dermaßen nicht nach oben beschränkt, dass man sich fragt was da eigentlich noch zu zeigen sein soll.

Aber wenn's denn sein soll dann könntest Du z.B folgende Ungleichung dazu nutzen:

$\begin{eqnarray*} a_n\geq n\text{ für alle }n\geq 2. \end{eqnarray*}$

02.12.2013, 14:54

jimmyt

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RE: Folge beschränkt: Nachweis
Hi,

(1) Meinst du das hier?

$\begin{eqnarray*} a(n) ~=~ n \cdot (n^{(n^{-1})}-1) ~=~ n \cdot (n^{\frac{1}{n}}-1) ~=~ n \cdot (\sqrt[n] n -1) ~=~ n \sqrt[n] n -n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b(n) ~=~ n^r \cdot (n^{(n^{-1})}-1) ~=~ n^r \cdot (\sqrt[n] n -1) ~=~ n^r \sqrt[n] n - n^r \quad \text{mit } r \in Q \; \land \; 0<r<1 \end{eqnarray*}$

Oder meinst du etwas anderes? (Bitte Latex-Editor benutzen. Danke.)

(2) Wenn ja, dann hätte ich zwei Vorschläge:

Zitat:

Original von qwoppo
...
Ich nehme an, dass sie nach unten durch null beschränkt ist und nach oben nicht

Das nehme ich auch an, aber das ist natürlich kein Beweis.
Ich habe eben die ersten 3 Werte mal ausgerechnet, und da haut es hin.

Wie wäre es:
- nach unten beschränkt durch null mit indirektem Beweis zeigen?
- nach oben nicht beschränkt mit vollständiger Induktion?
Aber die Induktion habe ich selber noch nicht gemacht, das wären nur meine ersten 2 Ideen. smile

EDIT: @Grautvornix:
Sorry, du warst 5 min. schneller. Ich habe nicht drauf geachtet, war so mit Latex formatieren beschäftigt.
Ich bin schon wieder raus. Es ist dein Thread. smile

02.12.2013, 15:14

Grautvornix

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RE: Folge beschränkt: Nachweis

Zitat:

Original von jimmyt
EDIT: @Grautvornix:
Sorry, du warst 5 min. schneller. Ich habe nicht drauf geachtet, war so mit Latex formatieren beschäftigt.
Ich bin schon wieder raus. Es ist dein Thread. smile

Kein Problem, du kannst hier gerne weitermachen.
Ich hab jetzt eh erstmal keine Zeit mehr...

Tschö!

02.12.2013, 16:14

qwoppo

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@Grautvornix

Ich glaube, du hast meinen Beitrag falsch entziffert? Für die Folge, die ich meine, gilt das nicht..

@jimmyt

Ja, die Folgen meine ich! Ich werde jetzt mal versuchen, die Beschränktheit so zu beweisen, wie du vorgeschlagen hast, mal sehen, wie weit ich damit komme smile

02.12.2013, 16:45

qwoppo

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Hm, also die Beschränktheit nach unten hab ich, aber mit der Induktion komme ich jetzt nicht weiter. Wie könnte die denn beispielsweise aussehen? Find ich ein bisschen schwierig, weil ich ja das Verhältnis zweier aufenanderfolgender Glieder betrachten muss, um auf Wachstum schließen zu können, sowas hab ich noch nie per Induktion gezeigt ...

02.12.2013, 17:36

HAL 9000

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Mal ganz unten auf das P.S. schauen

konvergenz

könnte weiterhelfen.

02.12.2013, 18:05

qwoppo

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Damit kann ich irgendwie wenig anfangen :/

02.12.2013, 18:17

HAL 9000

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Deswegen ja das "könnte". Nichts für ungut, jimmyt ist am Zug. Wink

02.12.2013, 20:25

Grautvornix

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Okay, um meinen Patzer von oben auszubügeln hier noch ein weiterer Tipp.

Bekanntermaßen gilt ja:

$\begin{eqnarray*} e^x\geq 1+x. \end{eqnarray*}$

Jetzt setze da mal $\begin{eqnarray*} x=\frac{\ln(n)}n \end{eqnarray*}$ ein!

03.12.2013, 00:24

jimmyt

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@HAL 9000 : Wink

Also, ich fand deinen Link nicht so schlecht. Big Laugh

Ich warte noch bis qwoppo wieder postet.

@qwoppo : Poste mal das, was du bisher hast, bspw. I.A., I.V. und I.B. smile

03.12.2013, 10:52

Grautvornix

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Zitat:

Original von jimmyt
@qwoppo : Poste mal das, was du bisher hast, bspw. I.A., I.V. und I.B. smile

Hmh,

Aber mit dem hier

Zitat:

Original von Grautvornix
Bekanntermaßen gilt ja:

$\begin{eqnarray*} e^x\geq 1+x. \end{eqnarray*}$

Jetzt setze da mal $\begin{eqnarray*} x=\frac{\ln(n)}n \end{eqnarray*}$ ein!

folgt doch sofort:

$\begin{eqnarray*} n\left(\sqrt[n]{n}-1\right)\geq \ln(n) \end{eqnarray*}$

und man ist schon fertig - ohne zu induzieren.

03.12.2013, 11:13

HAL 9000

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Mit dem Teil

Zitat:

Original von qwoppo
Man entscheide, ob die Folge a(n)=n*(n^(n^-1)-1) beschränkt ist.

ist man dann fertig, ja. Für die zweite Teilaufgabe

Zitat:

Original von qwoppo
Sei r aus Q und 0<r<1. Was kann man über b(n)= (n^r)*(n^(n^-1)-1) sagen?

braucht man eine vergleichbare Abschätzung in der anderen Richtung um zeigen zu können, dass b(n) eine Nullfolge ist.

Deswegen ja hatte ich das obige

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\ln(n)} (\sqrt[n]{n}-1) = 1 \end{eqnarray*}$

(übrigens gewinnbar über $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ durch Einsetzen der speziellen Nullfolge $\begin{eqnarray*} x_n=\frac{\ln(n)}{n} \end{eqnarray*}$ ) verlinkt, da kann man gleich in einem Aufwasch per Produktzerlegung

$\begin{eqnarray*} n^r (\sqrt[n]{n}-1) = \frac{n}{\ln(n)} (\sqrt[n]{n}-1) \cdot n^{r-1}\ln(n) \end{eqnarray*}$

das Konvergenzverhalten (beim Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ) von $\begin{eqnarray*} n^r (\sqrt[n]{n}-1) \end{eqnarray*}$ auf dasjenige von $\begin{eqnarray*} n^{r-1}\ln(n) \end{eqnarray*}$ zurückführen - und zwar sowohl für $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} 0<r<1 \end{eqnarray*}$ .

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