Ungleichung mit Logarithmus

02.12.2013, 17:14

Gast02122013

Ungleichung mit Logarithmus

Hallo zusammen, ich habe die unten stehende Ungleichung zu zeigen und stehe etwas auf dem Schlauch. Ich bastel die ganze zeit mit der e-Funktion rum, bekomme es aber nicht auf eine Form, in der man erkennen könnte dass es richtig ist.

Hier erstmal die Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} k \cdot \frac{log(n)}{log(m)} \leq n + m, \text{wobei }n,n\in \mathbb{N} \text{ und } n,m \geq 2 \text{ gilt} \end{eqnarray*}$

Wenn jemand einen Denkanstoß hat, wäre ich dankbar :-)

Viele Grüße aus Münster

02.12.2013, 17:24

Shiby

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Nimm mal das Gegenteil an also

$\begin{eqnarray*} k \cdot \frac{log(n)}{log(m)} \geq n + m \end{eqnarray*}$

und führe einen Widerspruch herbei.

Tipp: $\begin{eqnarray*} \frac{log(n)}{log(m)} = log(n) - log(m) \end{eqnarray*}$

02.12.2013, 17:26

Ripper1986

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Hallo,

ich habe auch gerade keine Idee wir man es machen könnte, aber $\begin{eqnarray*} \frac{log(n)}{log (m)} \neq \log(n) - \log(m) \end{eqnarray*}$

02.12.2013, 17:28

Shiby

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Stimmt das zählt nur für den ln sorry

02.12.2013, 17:29

HAL 9000

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Kein Wort über $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ? Wenn man dies groß genug wählt, findet man gewiss $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ , so dass die Ungleichung nicht gilt! unglücklich

02.12.2013, 17:31

Gast02122013

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hups,

habem mich vertippt... sorry!!

es sollte natürlich

$\begin{eqnarray*} m \cdot \frac{log(n)}{log(m)} \leq n + m, \text{wobei }m,n\in \mathbb{N} \text{ und } n,m \geq 2 \text{ gilt.} \end{eqnarray*}$

heißen.

02.12.2013, 18:21

Gast02122013

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hmm... ich habe jetzt noch ein bisschen rumversucht und es immer wieder umgestellt, allerdings führt das irgendwie zu nichts.

Hat keiner eine Idee wie man es machen könnte?

02.12.2013, 18:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast02122013
Hat keiner eine Idee wie man es machen könnte?

Doch, schon - bisher war ja noch nicht die richtige Behauptung auf dem Tisch. Forum Kloppe

Setzen wir einfach mal $\begin{eqnarray*} x=\frac{n}{m} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} n=mx \end{eqnarray*}$ , das ergibt eingesetzt in deine Behauptung

$\begin{eqnarray*} m\cdot \frac{\log(x)+\log(m)}{\log(m)} \leq mx + m \end{eqnarray*}$ , umgeformt

$\begin{eqnarray*} \frac{\log(x)}{x} \leq \log(m) \qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Das Minimum rechts ist sicher $\begin{eqnarray*} \log(2) \end{eqnarray*}$ , also reicht zum Beweis von (*) der Nachweis

$\begin{eqnarray*} \frac{\log(x)}{x} \leq \log(2) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ,

und der lässt sich z.B. durch eine Kurvendiskussion der Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{\log(x)}{x} \end{eqnarray*}$ führen. Augenzwinkern

02.12.2013, 19:02

Gast02122013

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ein Traum. Habe die Aufgabe fertig.

Vielen Dank dafür :-)

02.12.2013, 19:05

HAL 9000

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Gern geschehen. Wink

02.12.2013, 19:28

lgrizu

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Um das nicht so stehen zu lassen:

Zitat:

Original von Shiby
Nimm mal das Gegenteil an also

$\begin{eqnarray*} k \cdot \frac{log(n)}{log(m)} \geq n + m \end{eqnarray*}$

und führe einen Widerspruch herbei.

Tipp: $\begin{eqnarray*} \frac{log(n)}{log(m)} = log(n) - log(m) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Shiby
Stimmt das zählt nur für den ln sorry

Das stimmt für keinen Logarithmus, auch nicht für den natürlichen....

Richtig wäre $\begin{eqnarray*} \log \left( \frac{n}{m} \right) =\log (n)-\log (m) \end{eqnarray*}$

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