Fixpunkte

03.12.2013, 15:21

Kaddonia

Fixpunkte

Meine Frage:
Hallo,

hier meine Aufgabe, bei der ich nicht weiterkomme:

Es sei $\begin{eqnarray*} I\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein abgeschlossenes Intervall und
$\begin{eqnarray*} f:I\rightarrow I \end{eqnarray*}$ eine Abbildung.
Außerdem gebe es eine Konstante 0<L<1 mit $\begin{eqnarray*} | f(x_{1})-f(x_{2}) | \leq L| x_{1}-x_{2} | \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_{1},x_{2} \end{eqnarray*}$ in I.

Zeige:
a) f hat genau einen Fixpunkt y in I.
b) Ist $\begin{eqnarray*} x_{0} \in I \end{eqnarray*}$ beiliebig und die Folge $\begin{eqnarray*} (x_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} x_{n+1}=f(x_{n}) \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} x_{n} \rightarrow y \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also... wie bereits erwähnt, kann ich momentan nicht wirklich viel damit anfangen und bräuchte wohl mehrere Tritte in den Arsch um das hinzukriegen Augenzwinkern

Mein Ansatz zur a) wäre erstmal zu zeigen, dass es einen Fixpunkt gibt und anschließend anzunehmen, es gäbe einen weiteren und dies zum Widerspruch führen.
Bei der b) habe ich leider gerade herzlich wenig Ahnung, wie das gehen könnte.

Vielen Dank für eure Hilfe!

03.12.2013, 15:32

Guppi12

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Hallo,

du musst Aufgabe b zuerst machen. Zeige erstmal, dass die in b definierte Folge eine Cauchyfolge ist. Folgere dass ihr Grenzwert existiert und dass dieser ein Fixpunkt von f sein muss. Die Eindeutigkeit ist dann nicht mehr so schwer.

03.12.2013, 15:41

Kaddonia

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Danke für die Antwort.

Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (x_{n})_{n\in N} \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge ist, muss ich zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} |x_{n}-x_{m}|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m,n>n_{0} \end{eqnarray*}$ .

Wie kann ich das hier zeigen?

Das riecht mir schon nach der Voraussetzung mit den Beträgen... aber wie kann ich die da genau unterbringen? Ich könnte m>n setzen und dann $\begin{eqnarray*} x_{m} \end{eqnarray*}$ als f(f(...f(n)...)) schreiben (ich hoffe, ihr wisst, was ich meine). Komm ich so weiter?

03.12.2013, 15:45

Guppi12

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Die Gedanken gehen schon in die richtige Richtung. Probiere damit mal ein wenig herum und melde dich dann, wenn es garnicht weiter geht.

03.12.2013, 16:33

Kaddonia

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Also... ich glaube, ich laufe richtig Augenzwinkern

Hier mal den Gedankenweg in Kurzform (latex braucht so lange zu tippen...):

Es gilt: $\begin{eqnarray*} |x_{m}-x_{n}|\leq |-x_{n}+x_{n+1}-x_{n+1}+x_{n+2}-x_{n+2}...-x_{m-1}+x_{m}|=|\sum\limits_{i=n}^{m-1} x_{i+1}-x_{i}| \end{eqnarray*}$
Über die Dreiecksungleichung erhalten wir
$\begin{eqnarray*} |\sum\limits_{i=n}^{m-1} x_{i+1}-x_{i}|\leq \sum\limits_{i=n}^{m-1} |x_{i+1}-x_{i}|=\sum\limits_{i=0}^{m-n-1} |x_{n+i+1}-x_{n+i}| \end{eqnarray*}$ .

Nun erhält man über wiederholtes Anwenden (müsste man dann noch per vollst. Induktion zeigen...):

$\begin{eqnarray*} |x_{n+i+1}-x_{n+i}|=|f(x_{n+i+1})-f(x_{n+i})|\leq L\cdot | x_{n+i}-x_{n+i-1} | =L\cdot |f(x_{n+i-1})-f(x_{n+i-2})|<br /> \leq ~~...~~ \leq L^{n+i}\cdot |x_{1}-x_{0}| \end{eqnarray*}$

Und dann über ein paar Vereinfachungen:

$\begin{eqnarray*} |x_{m}-x_{n}|\leq \frac{1-L^{m-1}}{1-L}|x_{1}-x_{0}|\cdot L^{n} \end{eqnarray*}$

Daraus müsste ich doch über eine geometrische Reihe folgern können (der Schritt ist mir noch nicht gnaz klar), dass $\begin{eqnarray*} |x_{m}-x_{n}|<\epsilon \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ somit eine Cauchy-Folge ist.

Dann sei $\begin{eqnarray*} lim~x_{n}=x \end{eqnarray*}$ und damit folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(\lim_{n \to \infty } x_{n}) =\lim_{n \to \infty } f(x_{n})=\lim_{n \to \infty } x_{n+1}=x \end{eqnarray*}$

Und x ist ein Fixpunkt.

Ich bräuchte noch Hilfe zu der kleinen "Lücke", da wäre ich sehr dankbar.

Es kommt mir gerade der Gedanke, dass ich ja eigentlich zeigen soll, dass der Fixpunkt der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ ist... stimmt das dann überhaupt was ich da mache?

Wenn ja, würde ich mich danach gerne um die a) kümmern, muss jetzt aber gleich weg. Es würde mich freuen, wenn jemand in der Zwischenzeit schonmal einen Ansatz hier reinstellen könnte.
Danke!

Naja, Kurzform wars jetzt wohl doch nicht ganz ^^ aber ein paar Zwischenschritte hab ich mir noch erspart Augenzwinkern

Eure Kaddi

03.12.2013, 17:04

Guppi12

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Ausversehen 2 mal gepostet, siehe nächster Beitrag.

03.12.2013, 17:06

Guppi12

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Das sieht schon sehr gut aus!

Hier hat sich ein kleiner Schreibfehler eingeschlichen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |x_{n+i+1}-x_{n+i}|=|f(x_{{\color{red}n+i}})-f(x_{{\color{red}n+i-1}})|\leq L\cdot | x_{n+i}-x_{n+i-1} | =L\cdot |f(x_{n+i-1})-f(x_{n+i-2})|<br /> \leq ~~...~~ \leq L^{n+i}\cdot |x_{1}-x_{0}| \end{eqnarray*}$

Weiter:

Hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |x_{m}-x_{n}|\leq \frac{1-L^{m-1}}{1-L}|x_{1}-x_{0}|\cdot L^{n} \end{eqnarray*}$

lohnt es sich, das nochmal gegen $\begin{eqnarray*} \frac{|x_1-x_0|}{1-L}L^n \end{eqnarray*}$ abzuschätzen, dann bist du das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ schon ganz los. Dass das als Folge in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, sollte klar sein. Überleg nochmal, wie du hier jetzt $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ wählen kannst, damit für $\begin{eqnarray*} m,n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} |x_m-x_n|<\epsilon \end{eqnarray*}$ . Das kriegst du hin.

Zitat:

Dann sei $\begin{eqnarray*} lim~x_{n}=x \end{eqnarray*}$ und damit folgt: $\begin{eqnarray*} f(x)=f(\lim_{n \to \infty } x_{n}) =\lim_{n \to \infty } f(x_{n})=\lim_{n \to \infty } x_{n+1}=x \end{eqnarray*}$

Hier solltest du kurz erwähnen, warum $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegt. Auch sollte man (eventuell, weiß nicht, wieviel ihr da schon zu gemacht habt) erwähnen, warum $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig ist, der Grenzwert also mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ vertauscht.

Zitat:

Es kommt mir gerade der Gedanke, dass ich ja eigentlich zeigen soll, dass der Fixpunkt der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ ist... stimmt das dann überhaupt was ich da mache?

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist doch sogar nach Definition bereits Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ . Jetzt hast du gezeigt, dass der auch Fixpunkt ist. Wenn es nur einen Fixpunkt gibt (was du noch zeigen musst), kann der Grenzwert der (x_n) nur DER Fixpunkt sein.

Zitat:

Es würde mich freuen, wenn jemand in der Zwischenzeit schonmal einen Ansatz hier reinstellen könnte.

Ansatz geht bei sowas immer gleich: Nimm an, es gäbe 2 Fixpunkte $\begin{eqnarray*} x, x' \end{eqnarray*}$ und zeige, dass $\begin{eqnarray*} x = x' \end{eqnarray*}$ gelten muss.

04.12.2013, 14:36

Kaddonia

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Zitat:

Original von Guppi12

Hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |x_{m}-x_{n}|\leq \frac{1-L^{m-1}}{1-L}|x_{1}-x_{0}|\cdot L^{n} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} L^{m-1}<1~~ \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} ~~\frac{1-L^{m-1}}{1-L}|x_{1}-x_{0}|\cdot L^{n}\leq \frac{|x_1-x_0|}{1-L}L^n \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \frac{|x_1-x_0|}{1-L}L^n \end{eqnarray*}$ ist in n eine Nullfolge, es gibt also für jedes Epsilon ein n_0 mit $\begin{eqnarray*} \frac{|x_1-x_0|}{1-L}L^n<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle n größer als n_0. Da $\begin{eqnarray*} |x_m-x_n|\leq \frac{|x_1-x_0|}{1-L}L^n<\epsilon \end{eqnarray*}$ kann man sein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \frac{|x_1-x_0|}{1-L}L^n \end{eqnarray*}$ wählen.

Zitat:

Reicht es zu sagen, dass alle $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich liegen, oder wie begründe ich das? "Vertauschen" sagt mir nichts im Zusammenhang mit der Stetigkeit. Warum muss hier die Stetigkeit gegeben sein und wie zeige ich sie?

Zitat:

Ansatz geht bei sowas immer gleich: Nimm an, es gäbe 2 Fixpunkte $\begin{eqnarray*} x, x' \end{eqnarray*}$ und zeige, dass $\begin{eqnarray*} x = x' \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Es sei x' ein zweiter Fixpunkt. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} |x-x'|=|f(x)-f(x')|\leq L\cdot |x-x'| \end{eqnarray*}$ . Dies ist ein Widerspruch, da L<1.

Bin ich damit komplett fertig? smile

04.12.2013, 15:00

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

Es sei x' ein zweiter Fixpunkt. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} |x-x'|=|f(x)-f(x')|\leq L\cdot |x-x'| \end{eqnarray*}$ . Dies ist ein Widerspruch, da L<1.

Nein, ist es nicht, es folgt bloß $\begin{eqnarray*} |x-x'| = 0 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Wenn du möchtest, dass $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ ein von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ verschiedener Fixpunkt sein soll, musst du das explizit schreiben, "zweiter Fixpunkt" tut es dabei nicht (oder vielleicht schon, ist aber Ansichtssache). Allerdings reicht $\begin{eqnarray*} |x-x'| = 0 \end{eqnarray*}$ ja auch.

Zitat:

Reicht es zu sagen, dass alle $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich liegen?

Nein, das genügt nicht. Betrachte $\begin{eqnarray*} \left (\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Das ist eine Folge in $\begin{eqnarray*} (0, 1) \end{eqnarray*}$ . Allerdings liegt der Grenzwert nicht in $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ . Warum kann das bei dir nicht passieren?

Zitat:

"Vertauschen" sagt mir nichts im Zusammenhang mit der Stetigkeit. Warum muss hier die Stetigkeit gegeben sein und wie zeige ich sie?

Ich frage mal anders: Warum darfst du das hier:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(\lim_{n \to \infty } x_{n}) =\lim_{n \to \infty } f(x_{n}) \end{eqnarray*}$

machen ? (das meinte ich mit Vertauschen)

Zitat:

Bin ich damit komplett fertig? smile

Wenn du diese Stellen noch ausbürstest, dann ja.

04.12.2013, 15:31

Kaddonia

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Hallo,

ich meinte, dass x und x' verschieden sind, dann sollte das ja stimmen Augenzwinkern

So oder so kommt man ja auf jeden Fall ans Ziel.

Irre ich mich oder ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}=0 \end{eqnarray*}$ und damit in [0,1]...? Ich glaube aber, ich weiß, was du meinst. In diesem Fall liegen alle Glieder in ]0,1], der Grenzwert 0 aber nicht.
Warum das bei mir nicht passieren kann ist eine gute Frage... die bestimmt eine gute Antwort hat, auf die ich aber nicht zu kommen scheine. Es hat doch bestimmt etwas damit zu tun, dass Bildbereich und Definitionsmenge von f gleich sind, sehe ich das recht?

Dann zu dem Grenzwert: Das ist mir gar nicht aufgefallen, dass ich da was verwendet habe, was ich wohl nicht darf... kannst du mir erklären warum das geht?

Viele Grüße
Kaddo

04.12.2013, 15:39

Guppi12

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Zitat:

Irre ich mich oder ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}=0 \end{eqnarray*}$ und damit in [0,1]

Ja, in [0,1], aber nicht in (0,1).

Zitat:

Es hat doch bestimmt etwas damit zu tun, dass Bildbereich und Definitionsmenge von f gleich sind, sehe ich das recht?

Nein, damit hat es nichts zu tun. Es hat mehr etwas mit der Beschaffenheit des Definitionsbereichs zu tun. In [0,1] beispielsweise könnte man keine konvergente Folge finden, deren Grenzwert nicht in [0,1] liegt. So etwas hast du eben auch. Eigentlich sollte die Tatsache bekannt sein, dass eine der charakterisierenden Eigenschaften von abgeschlossenen Mengen (I ist nach Voraussetzung abgeschlossen) ist, dass Grenzwerte von Folgen in solchen Mengen auch wieder in der Menge liegen.

Zitat:

Dann zu dem Grenzwert: Das ist mir gar nicht aufgefallen, dass ich da was verwendet habe, was ich wohl nicht darf... kannst du mir erklären warum das geht?

Das ist einfach etwas soo essenzielles, dass ihr das im Kapitel über Stetigkeit gemacht haben MÜSST. Auch alleine schon, weil die Aufgabe etwas umfangreich werden würde, wenn ihr das auch noch zeigen solltet. Schau da mal unter Charakterisierung von Stetigkeit über Folgen nach. (Manchmal wird Stetigkeit sogar auf diese Weise definiert).

Jetzt zu der Frage, warum die Funktion überhaupt stetig sein soll: Das lässt sich mit Hilfe von

Zitat:

Außerdem gebe es eine Konstante 0<L<1 mit $\begin{eqnarray*} | f(x_{1})-f(x_{2}) | \leq L| x_{1}-x_{2} | \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_{1},x_{2} \end{eqnarray*}$ in I.

zeigen. Das bekommst du hin!

(Wissenswertes: eine Funktion mit dieser Eigenschaft (allerdings für beliebige L>0) heißt lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante L. Lipschitzstetigkeit impliziert sogar gleichmäßige Stetigkeit, also insbesondere Stetigkeit. Eine lipschitzstetige Funktion mit Lipschitzkonstante L<1 nennt man Kontraktion.)

Edit: Ich muss jetzt erstmal zur Uni, werde gegen 7 das nächste mal reinschauen.

04.12.2013, 15:49

Kaddonia

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Danke! Das kommt davon wenn man die Voraussetzung nicht richtig liest... da steht ja noch abgeschlossen Augenzwinkern

Mir war die Schreibweise mit den runden Klammern nicht bekannt, habe das bisher nur mit geöffneten oder geschlossenen eckigen gesehen.

Ich finde bei mir nichts zu $\begin{eqnarray*} f(lim x_n)=lim f(x_n) \end{eqnarray*}$ ... vielleicht finde ich es auch nicht, weil ich an der falschen Stelle suche oder es nicht erkenne, weil es anders formuliert ist. Ich kann aber wohl davon ausgehen, dass das bekannt ist, zumal mir das auch so logisch erschien, dass ich da nicht weiter drüber nachgedacht habe.

Vielen Dank für deine Hilfe!

04.12.2013, 18:00

Guppi12

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Bitte beachten:

Was dir so logisch scheint, dass du nicht weiter drüber nachgedacht hast, ist keineswegs selbstverständlich. Insbesondere gilt es nicht, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist.

Folgendes ist richtig:

Seien $\begin{eqnarray*} X, Y \end{eqnarray*}$ metrische Räume (wenn du nicht weißt, was das ist, stell dir einfach $\begin{eqnarray*} X = Y = \mathbb R \end{eqnarray*}$ vor) und $\begin{eqnarray*} f: X\to Y \end{eqnarray*}$ eine Abbildung. Sei $\begin{eqnarray*} x_0\in X \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau dann stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , wenn für alle Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N}\in X^\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}x_n = x_0 \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(x_n) = f(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Hast du die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ inzwischen zeigen können?

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