Produktmaß berechnen

Neue Frage »

03.12.2013, 16:56	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Produktmaß berechnen Hallo Forum, habe eine, ich glaube, einfach zu klärende Frage: Wie kann ich das Produktmaß $\begin{eqnarray} \mu_{1} \times \mu_{2} ( (x,y) : x²+y² \leq 1) ) \end{eqnarray}$ berechnen, wenn F(x)= x². Ich habe leider nicht wirklich eine Ahnung wie man hier vorgeht, wäre äußerst dankbar für Hilfe!
03.12.2013, 19:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht vervollständigst du erstmal die Aufgabenstellung: Was hat $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu_1,\mu_2 \end{eqnarray}$ zu tun? Ist das deren Verteilungsfunktion - aber wohl kaum auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , es sei denn, $\begin{eqnarray} \mu_1,\mu_2 \end{eqnarray}$ sind signierte Maße.
03.12.2013, 20:26	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, hab mich vertan: $\begin{eqnarray} \mu_{F} \times \mu_{F} ( (x,y) : x²+y² \leq 1) ) \end{eqnarray}$ ist die richtige Angabe. Und es steht auch noch x > 0 neben der Definition von F, also nehme ich an F ist für x kleiner oder gleich 0 gleich 0..
04.12.2013, 10:53	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Brauche ich die Dichtefunktion? Oder kann man vielleicht die Menge in zwei einzelne Mengen zerlegen, sodass man m_f(A) * m_f(B) rechnen kann?
04.12.2013, 11:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gemeinsame Dichte deines Produktmaßes $\begin{eqnarray} \mu_F \otimes \mu_F \end{eqnarray}$ wäre schon mal eine gute Idee, denn dann kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit als zweidimensionales Riemann-Integral schreiben.
04.12.2013, 11:32	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort =) Also die Dichte von $\begin{eqnarray} \mu_{F} \end{eqnarray}$ ist 2x , aber wie ich auf die gemeinsame komme, weiß ich leider nicht.. Muss in 15 min weg zur Prüfung, da könnte das vll kommen, wäre super wenn du mir dabei noch hilfst!
Anzeige

04.12.2013, 11:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, "Produktmaß" ist schon wörtlich zu nehmen, das überträgt sich auch auf die Dichte: D.h., es ist $\begin{eqnarray} f(x,y) = 2x\cdot 2y = 4xy \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x>0,y>0 \end{eqnarray}$ - sonst 0.
04.12.2013, 11:47	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay.. und dann muss man x²+y² nach diesem Prodmaß integrieren? Wie soll denn das gehen? ? Vll auch noch mit Indikator auf [-1,1]?
04.12.2013, 11:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du integrierst ja über die Kreisfläche $\begin{eqnarray} x^2+y^2\leq 1 \end{eqnarray}$ . Wie wir nun wissen, interessiert nur $\begin{eqnarray} x>0,y>0 \end{eqnarray}$ (anderswo ist die Dichte gleich Null), also der Viertelkreis $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , der im ersten Quadranten liegt. Um über den zu integrieren, wären Polarkoordinaten ganz angemessen: $\begin{eqnarray} \iint\limits_V 4xy ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_{r=?}^? \int\limits_{\varphi=?}^? ? ~ \dd \varphi ~ \dd r \end{eqnarray}$ Die ? sind natürlich entsprechend zu ersetzen.
24.09.2019, 11:59	Sephirot	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dieses Ergebnis richtig? $\begin{eqnarray} <br /> 4\int_{r = 0}^{1} \! \int_{\gamma = 0}^{\frac{\pi }{2} } \! r^{3}\sin(\gamma )\cos(\gamma ) \, d\gamma \, dr = \frac{1}{2} <br /> \end{eqnarray*}$ Danke für die Hilfe!
24.09.2019, 12:11	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme mal stark an, du bist nicht mehr der Originalfragesteller von vor sechs Jahren ( ), aber das Ergebnis ist richtig.
24.09.2019, 12:20	Sephirot	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

Neue Frage »

Antworten »

Produktmaß berechnen

Verwandte Themen