Allgemeine Beweistechniken (direkt und indirekt)

03.12.2013, 18:51

bastian91

Allgemeine Beweistechniken (direkt und indirekt)

Ich habe eine Frage zu den Beweisverfahren. Nehmen wir also mal simpel an ich müsste aus A folgt B beweisen.

Meine Ideen:
Beim direkten Bew: würde ich es genau so beweisen.

Beim indirekten Bew: würde ich es über eine andere Art der Verknüpfung von A und B beweisen, die die gleiche Wahrheitstafel wie aus A folgt B enthält. Z.B. nichtA v B bzw.
nichtB =>nicht A. Stimmt das was ich sage? oder darf ich das nicht?

Wiederspruchsbeweis: durch eine Verknüpfung von A und B die genau eine verkehrte Wahrheitstabelle besitzt. (wahr und falsch vertauscht)
wie z.b. nichtB => A bzw. nicht B UND A... stimmt das hier auch?

Gilt das für jeden Beweis wenn es er die Darstellung A=>B hat????

03.12.2013, 23:51

jimmyt

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RE: Allgemeine Beweistechniken (direkt und indirekt)
Hi,

Zitat:

Original von bastian91
...
Meine Ideen:
Beim direkten Bew: würde ich es genau so beweisen.

Was würdest du wie beweisen?

mögliche Vorgehensweise:

(1) es gilt: $\begin{eqnarray*} (A ~\implies~ B) ~\Longleftrightarrow~ ( \neg B ~\implies~ \neg A) \end{eqnarray*}$
(2) Voraussetzung -> logische Schlußfolgerungen -> Konklusion (sprich wahr oder falsch)

Zitat:

Original von bastian91
Beim indirekten Bew: würde ich es über eine andere Art der Verknüpfung von A und B beweisen, die die gleiche Wahrheitstafel wie aus A folgt B enthält. Z.B. nichtA v B bzw.
nichtB =>nicht A. Stimmt das was ich sage? oder darf ich das nicht?

Wiederspruchsbeweis: ...

Meines Wissens nach ist der indirekte Beweis und der Widerspruchsbeweis ein und dasselbe.
Falls es nicht so ist, dürfen mich andere hier im Forum gerne korrigieren.

Indirekter Beweis:
Gegeben ist eine Aussage $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ . Diese Aussage wird bewiesen, in dem man die Negation $\begin{eqnarray*} \neg S \end{eqnarray*}$ durch logische Schlußfolgerungen zu einem Widerspruch führt.
Dadurch weißt du dann, daß $\begin{eqnarray*} \neg S ~=~ \text{false} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt aber auch $\begin{eqnarray*} \neg \neg S ~=~ S ~=~ \text{true} \end{eqnarray*}$ , womit die Aussage $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ bewiesen ist.

Ich hoffe, ich konnte dir damit ein bißchen weiterhelfen.
Es gibt bestimmt noch weitere Herangehensweisen, deswegen fasse das bitte nicht so auf, als ob es nur so geht und nicht anders.
Deswegen bitte alles betrachten ohne Anspruch auf Vollständigkeit.
Es gibt im Übrigen auch noch andere Beweise, wie bspw. die vollständige Induktion u.a. smile

Noch etwas zur Verneinung der Implikation:

$\begin{eqnarray*} \neg(A ~\implies~ B) ~\Longleftrightarrow~ (A ~\land~ \neg B) \end{eqnarray*}$

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