Untergruppe aus Vereinigung

03.12.2013, 20:25	lagrange92	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe aus Vereinigung Meine Frage: Hallo, Ich betrachte G, welches eine Gruppe ist und $\begin{eqnarray} H,U \subset G \end{eqnarray}$ , welche bei Untergruppen von G sind. Für $\begin{eqnarray} U \cup H \end{eqnarray}$ möchte ich zeigen : $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist Untergruppe $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow U \subset H \vee H\subset H \end{eqnarray}$ . Die Rückrichtung habe ich, aber bei der Hinrichtung habe ich das Kontrapositionsgestz angewendet und möchte von $\begin{eqnarray} U \not\subset H \wedge H \not\subset H \end{eqnarray}$ darauf schließen, dass die Vereinigung keine Untergruppe ist. Meine Ideen: Leider habe ich weiter keine Idee. Ich bin dankbar für jeden Tipp.
03.12.2013, 20:31	nore	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo lagrange, entweder ich stehe auf dem Schlauch oder du hast etwas durcheinandergebracht. $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ sind Untergruppen von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und du möchtest zeigen: $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist Untergruppe von $\begin{eqnarray} U\cup H \end{eqnarray}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ ? Grüße David
03.12.2013, 20:41	lagrange92	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe aus Vereinigung Ich betrachte G, welches eine Gruppe ist und $\begin{eqnarray} H,U \subset G \end{eqnarray}$ , welche beide Untergruppen von G sind. Für $\begin{eqnarray} U \cup H \end{eqnarray}$ möchte ich zeigen : $\begin{eqnarray} U \cup H \end{eqnarray}$ ist Untergruppe $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow U \subset H \vee H\subset U \end{eqnarray}$ . Die Rückrichtung habe ich, aber bei der Hinrichtung habe ich das Kontrapositionsgestz angewendet und möchte von $\begin{eqnarray} U \not\subset H \wedge H \not\subset U \end{eqnarray}$ darauf schließen, dass die Vereinigung keine Untergruppe ist. Sorry ich hatte mich vertippt.
04.12.2013, 11:51	lagrange92	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppe aus Vereinigung Ich habe mir jetzt nochmal was überlegt, müsste aber wissen, ob das so geht: $\begin{eqnarray} \exists g_1 \in U_{ \backslash H} \wedge g_2 \in H_{\backslash U} \end{eqnarray}$ , jetzt sehe ich hier einen Widerspruch zur Abgeschlossenheit der Vereinigung, denn $\begin{eqnarray} g_1g_2 \in G \end{eqnarray}$ gilt ja, weil G eine Gruppe ist, aber mit der Wahl der beiden Elemente folgt: $\begin{eqnarray} g_1g_2 \not \in U \cup H \end{eqnarray}$ , da ja $\begin{eqnarray} g_1 \not \in H \wedge g_2 \not \in U \Rightarrow g_1g_2 \not \in H_{\backslash U} \wedge g_1g_2 \not \in U_{\backslash H} \end{eqnarray}$ . Hiermit wäre die Vereinigung keine Unterguppe von G, weil si nicht abgeschlossen unter der Verknüpfung wäre
04.12.2013, 12:18	nore	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi lagrange, an sich sieht das gut aus. Den letzten Schritt müsstest du noch etwas näher begründen. Also du hast zwei Elemente aus G, von denen einer nicht in U und der andere nicht in H. Wieso ist dann die Verknüpfung dieser beiden Elemente weder in U noch in H? Grüße David
04.12.2013, 12:53	lagrange92	Auf diesen Beitrag antworten »
Die resultiert meiner Meinung aus der Abgeschlossenheit der Untergruppen von G. Denn da $\begin{eqnarray} g_1 \in U_{ \backslash H} \wedge g_2 \in H_{\backslash U} \end{eqnarray}$ , folgt g1 und g2 können mit einem beliebigen Element ihrer jeweiligen Gruppen verknüpft werden und das Ergebnis liegt wieder in der jeweiligen Gruppe, doch da die beiden nicht aus der selben Untergruppe stammen, liegt weder in H noch in U ein $\begin{eqnarray} g_1g_2 \end{eqnarray*}$ . Was zur beschriebenen Folgerung führt.
Anzeige

04.12.2013, 14:11	nore	Auf diesen Beitrag antworten »
Das reicht leider so noch nicht. Beziehungsweise wie du argumentierst, ist nicht ganz schlüssig. Vielleicht wird es dir klar, wenn du deine Begründung etwas kleinschrittiger machst. Entweder du merkst dann, dass es nicht funktioniert oder dir fällt auf, was der fehlende Schritt ist. :-) Derweil ein Tip von mir: Nimm an, dass zum Beispiel $\begin{eqnarray} g_1\in U, g_2\notin U \end{eqnarray}$ (so hast du die beiden ja gewählt) und dass $\begin{eqnarray} g_1g_2\in U \end{eqnarray}$ (du willst ja zeigen, dass das nicht der Fall ist). Daraus kannst du einen Widerspruch herleiten. Auf die gleiche Art kannst du zeigen, dass $\begin{eqnarray} g_1g_2 \end{eqnarray}$ auch nicht in $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist und damit auch nicht in $\begin{eqnarray} U\cup V \end{eqnarray}$ . Grüße David
07.12.2013, 14:57	lagrange92	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, ich habe meinen Fehler erkannt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »