Zeigen, dass es sich um eine lineare Abbildung handelt

03.12.2013, 22:07

MartinL

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Zeigen, dass es sich um eine lineare Abbildung handelt

Moin,

ich habe hier eine Aufgabe, deren Lösung mir zu leicht erscheint. Vielleicht ist es so leicht aber das hätte ich gern bestätigt.

Aufgabe:
Sei V ein euklidischer Vektorraum. Zeigen Sie, dass jede Abbildung
$\begin{eqnarray*} a:V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ für die
$\begin{eqnarray*} a(v)*a(w) = v*w \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall v,w \in V \end{eqnarray*}$ gilt,
eine lineare Abbildung und somit ein Element aus $\begin{eqnarray*} O(V) \end{eqnarray*}$ ist.

Um zu zeigen, dass a eine lineare Abbildung ist muss ich meines Wissens nach nur zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} 1. \forall v,w \in V : a(v+w) = a(v)+a(w) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2. v \in V, k \in K : a(k*v) = k*a(v) \end{eqnarray*}$

Wenn ich allerdings aus der Bedingung schon schließen kann, dass $\begin{eqnarray*} a(v) = v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a(w) = w \end{eqnarray*}$ ist, erhalte ich den Beweis ja sehr schnell.

Ich vermute also, dass irgendwo ein Haken ist. Ansonsten würde ich sagen:
Weil $\begin{eqnarray*} a(v) = v \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} a(v+w) = v+w = a(v)+a(w) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a(k*v) = k*v =k*a(v) \end{eqnarray*}$

Das kann aber doch nicht sein oder?

Gruß
Martin

03.12.2013, 22:29

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

Wenn ich allerdings aus der Bedingung schon schließen kann, dass $\begin{eqnarray*} a(v) = v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a(w) = w \end{eqnarray*}$ ist

und wie willst du das machen?

03.12.2013, 22:45

MartinL

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Tja das habe ich auch überlegt. Es kam mir dann ja zurecht zu einfach vor.

Dann muss ich es wohl anders probieren. Irgendwelche Tipps?

03.12.2013, 22:47

Guppi12

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Zitat:

Irgendwelche Tipps?

Betrachte mal $\begin{eqnarray*} (a(v+w)-a(v)-a(w))*(a(v+w)-a(v)-a(w)) \end{eqnarray*}$ . Versuche zu zeigen, dass da immer $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ rauskommt. Analog dann für Skalare.

03.12.2013, 23:06

MartinL

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Mhh, ich seh es irgendwie nicht. Die beiden Faktoren sind identisch. Es müssen also beide 0 sein, damit das Produkt 0 ist.

Allerdings weiß ich nicht, wie ich von meiner Bedingung da hin kommen soll, dass die beiden Faktoren 0 sind. Immerhin muss ich ja genau diese Möglichkeit, die Funktion auseinander zu ziehen erst zeigen.

Steht das $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ eigentlich für die Skalare Multiplikation der beiden Ausdrücke in den Klammern?

Mir fällt es immer schwer eine Übersicht zu behalten, wofür das $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ nun gerade steht. Außerdem fällt es mir schwer, solche grundlegenden Dinge zu beweisen, ohne dafür dinge zu nutzen, die man erst zeigen muss. unglücklich

unglücklich

03.12.2013, 23:10

RavenOnJ

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Was soll denn $\begin{eqnarray*} v*w \end{eqnarray*}$ sein?

Edit: Sehe gerade, dass du dir selber die Frage stellst. Eigentlich solltest du das aus der Aufgabe oder Vorlesung wissen.

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03.12.2013, 23:12

MartinL

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Also da es sich um einen euklidischen Vektorraum handelt gehe ich davon aus, dass
$\begin{eqnarray*} a(v) * a(w) \end{eqnarray*}$ die Verkettung zweier Funktionen meint, während
$\begin{eqnarray*} v*w \end{eqnarray*}$ das Skalarprodukt zweier Vektoren ist.

Gruß
Martin

03.12.2013, 23:16

RavenOnJ

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Verkettung von Funktionen?? Das kann nicht stimmen, da $\begin{eqnarray*} a(v)\in V \end{eqnarray*}$ . Das * in $\begin{eqnarray*} a(v)*a(w) \end{eqnarray*}$ stellt also denselben Operator wie in $\begin{eqnarray*} v*w \end{eqnarray*}$ dar. Skalarprodukt ist naheliegend, da es sich um einen euklidischen Vektorraum handelt.

03.12.2013, 23:23

MartinL

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Stimmt, das kann ja nicht. Ich hab ja da zwei Variablen und nicht sowas wie $\begin{eqnarray*} a*a(v) \end{eqnarray*}$ . Man merkt, dass ich ordentlich raus bin. Früher ging sowas mal besser.

Ich denk noch mal ein wenig drüber nach.

03.12.2013, 23:25

Guppi12

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Es geht sonst mit dem Tipp, den ich oben gab, ziemlich straight forward, da kann man wenig falsch machen.

03.12.2013, 23:32

MartinL

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Aber ich habe doch bei dir im Tipp oben etwas der Art:

$\begin{eqnarray*} x * x = 0 \end{eqnarray*}$ wobei x Vektoren sind und * das Skalarprodukt beschreibt. Skalarprodukt ist aber doch immer positiv definit. Da müsste also etwas größer 0 rauskommen oder?

Allerdings ist das Skalarprodukt ja auch bilinear, ich kann also mal ausmultiplizieren und mal schauen, ob etwas passiert. Vielleicht hab ich heut schon zu viel gemacht. Morgen sehe ich vielleicht klarer. Aktuell stochere ich blind durch die Gegend

03.12.2013, 23:35

Guppi12

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Zitat:

Da müsste also etwas größer 0 rauskommen oder?

Nein, größer/gleich 0. Und, was viel interessanter ist: genau dann 0, wenn x=0. Könntest du also zeigen, dass das für alle v,w = 0 ist, hättest du schonmal die Additivität.

Du kannst, wie du schon angesprochen hast, mit der Bilinearität und der vorgegebenen Eigenschaft arbeiten.

03.12.2013, 23:40

MartinL

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Ah, jetzt seh ich plötzlich auch deine Idee und wie du drauf gekommen bist, das überhaupt so aufzustellen.

Die Biliniearität führt mich tatsächlich dahin, dass 0 rauskommt. Also muss ja auch jeder der Faktoren 0 sein und damit folgt dann schon:

$\begin{eqnarray*} a(v+w) = a(v) + a(w) \end{eqnarray*}$

Wenn man einmal verwirrt ist, dann verliert man plötzlich das ganze schön aufgebaute Gedankenkonstrukt. Ich glaube, jetzt herrscht langsam wieder Klarheit.

Danke sehr.

04.12.2013, 00:03

MartinL

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Und der zweite Teil folgt dann genau so:

$\begin{eqnarray*} ((a(kv)-ka(v))*(a(kv)-ka(v)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a(kv)a(kv)-2ka(v)a(kv)+kka(v)a(v) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = kvkv-2kvkv+kkvv \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$

Also muss wieder jeder Faktor 0 sein weil positiv definit und damit ham was.

Danke schön noch mal.

04.12.2013, 00:27

MartinL

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RE: Zeigen, dass es sich um eine lineare Abbildung handelt
Doof, dass man nicht mehr editieren kann. Eine Frage bleibt nämlich noch. Der letzte teil der Aufgabe ist irgendwie nicht eindeutig. Reicht es eurer Meinung nach zu zeigen, dass a eine lineare Abbildung ist. Damit liegt a laut der Aufgabe automatisch in O(V)? Oder muss ich erst noch zeigen, dass alle linearen Abbildungen in O(V) liegen? Ist das überhaupt so? Kommt mir komisch vor. Vielleicht soll ich auch zeigen, dass a sowohl lineare Abbildung wie auch in O(V) liegt. Ich weiß nicht genau, ob dieser Teil noch Aufgabe oder nur zusätzliche Information ist.

Aufgabe:
Sei V ein euklidischer Vektorraum. Zeigen Sie, dass jede Abbildung
$\begin{eqnarray*} a:V \rightarrow V \end{eqnarray*}$ für die
$\begin{eqnarray*} a(v)*a(w) = v*w \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall v,w \in V \end{eqnarray*}$ gilt,
eine lineare Abbildung und somit ein Element aus $\begin{eqnarray*} O(V) \end{eqnarray*}$ ist.

04.12.2013, 00:43

Guppi12

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Sieh dir nochmal an, wie orthogonale Abbildungen definiert sind. Dann wirst du dir die Frage selbst beantworten können.

04.12.2013, 10:06

MartinL

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Joa meiner Meinung nach muss ich noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} || a(v) || = || v || \end{eqnarray*}$ ist. Allerdings ist die Aufgabe dann trotzdem komisch gestellt. Das "somit" impliziert irgendwie eine Äquivalenz zwischen linearen Abbildungen und Orthogonalität.

Zum Glück ist das nicht schwer. Müsste so gehen:

$\begin{eqnarray*} || a(v) || = \sqrt{a(v)*a(v)} = \sqrt{v*v} = || v || \end{eqnarray*}$

Gruß
Martin

04.12.2013, 10:18

RavenOnJ

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Zitat:

Original von MartinL
Allerdings ist die Aufgabe dann trotzdem komisch gestellt. Das "somit" impliziert irgendwie eine Äquivalenz zwischen linearen Abbildungen und Orthogonalität.

Das könnte man so sehen. Man könnte es aber auch so verstehen, dass aus der Bedingung $\begin{eqnarray*} a(v)*a(w) = v*w,\forall v,w \in V \end{eqnarray*}$ mit der Folgerung der Linearität von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Mitgliedschaft $\begin{eqnarray*} a\in O(V) \end{eqnarray*}$ folgt.

04.12.2013, 10:37

MartinL

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Aber die Linearität hab ich doch gar nicht benutzt oder? In der Argumentation zur orthogonalen Gruppe habe ich doch nur die Definition der Länge und die Definition der Abbildung selbst benutzt. Da brauchte ich Linearität doch gar nicht.

EDIT: Sprachliche Feinheiten zu Diskutieren ist aber eigentlich auch unnütz Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Aufgabe ist gelöst und darauf kommt es an.

04.12.2013, 10:57

RavenOnJ

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Aber es könnte doch sein, dass es skalarprodukterhaltende Abbildungen gibt, die nicht linear sind. Diese wären dann nicht in O(V), da die darin enthaltenen Abbildungen linear sein müssen. Wenn man also zeigt, dass aus der Erhaltung des Skalarprodukts schon die Linearität folgt, dann muss die Abbildung schon aufgrund dieser einen Eigenschaft in O(V) liegen. Man kann damit also zeigen, dass eine zusätzliche Forderung von Linearität unnötig wäre.

04.12.2013, 11:02

RavenOnJ

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Zitat:

Original von MartinL
EDIT: Sprachliche Feinheiten zu Diskutieren ist aber eigentlich auch unnütz Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Aufgabe ist gelöst und darauf kommt es an.

Dies finde ich gar nicht, es kommt in der Mathematik häufig auf exakte Formulierungen an. Man muss also die inhärente Inexaktheit der Sprache an die Exaktheit der mathematischen Begriffsbildungen und Sätze anpassen. Ein Akt der Disziplinierung der eigenen Ausdrucksweise, zumindest auf diesem Gebiet.

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