Matrizenräume addieren + Dimension

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Vazrael Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizenräume addieren + Dimension
Wink Wink

Es sei und

sowie


1.) Zeigen, dass die beiden Mengen Unterräume von V sind.
Für U1 bzw. analog U2: Ich habe Matrizenaddition für zwei ELemente aus U1 bzw. U2 durchgeführt. Ich erhalte dann als Summe eine Matrix mit vier Einträgen, die jeweils aus der Addition zweier reeller Zahlen besteht.
Eine reelle Zahl + eine reelle Zahl ergibt eine reelle Zahl. Damit sollte eigentlich schon alles gezeigt sein?!

Es fehlt noch die Multiplikation mit einem Skalar aus der Menge der reellen Zahlen. Auch dies ergibt wieder eine reelle Zahl.

ALso sind beide Mengen Untervektorräume von V.

2.) Wie erhalte ich die Dimension einer Untervektorraums bestehend aus Matrizen?
Ich soll Dim(U1), Dim(U2), Dim(U1+U2) berechnen..

verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizenräume addieren + Dimension
Zitat:
Original von Vazrael
2.) Wie erhalte ich die Dimension einer Untervektorraums bestehend aus Matrizen?
Ich soll Dim(U1), Dim(U2), Dim(U1+U2) berechnen..



Du hast doch jeweils 3 unabhängig wählbare Parameter, also ist die Dimension was? Was ist die Dimension des Gesamtraumes ?

Du kannst natürlich auch für beide Räume eine Basis konstruieren. Wenn dann in Basisvektoren liegen, die nicht in enthalten sind, dann kannst du mit denen die Basis von ergänzen, um eine Basis von zu erhalten. Die Dimension eines Unterraums ist gleich der Anzahl der Vektoren in einer zugehörigen Basis.
Vazrael Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo RavenOnJ,

Die Dimension des Gesamtraumes ist 4.
ALso bräuchte ich doch 4 Matrizen(??) um den Gesamtraum aufzustellen.

Mit den 3 unabhängigen Parametern sollte das die Dimension 3 ergeben.

,

,



Das sind meine drei Basismatrizen von U1?

Und von U2:








Ich mache es erstmal bis hierher smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizenräume addieren + Dimension
Zitat:
Original von Vazrael
1.) Zeigen, dass die beiden Mengen Unterräume von V sind.
Für U1 bzw. analog U2: Ich habe Matrizenaddition für zwei ELemente aus U1 bzw. U2 durchgeführt. Ich erhalte dann als Summe eine Matrix mit vier Einträgen, die jeweils aus der Addition zweier reeller Zahlen besteht.
Eine reelle Zahl + eine reelle Zahl ergibt eine reelle Zahl. Damit sollte eigentlich schon alles gezeigt sein?!

Es fehlt noch die Multiplikation mit einem Skalar aus der Menge der reellen Zahlen. Auch dies ergibt wieder eine reelle Zahl.

ALso sind beide Mengen Untervektorräume von V.

Es geht hier nicht darum, ob bei den genannten Operationen reelle Zahlen als Matrix-Elemente herauskommen, sondern daß z.B. bei der Addition von 2 Elementen von U1 wieder ein Element von U1 herauskommt.
Vazrael Auf diesen Beitrag antworten »

Dann geht es darum, dass die vier Einträge der Matrizen so im Verhältnis stehen,dass bei

U1 in der obersten Zeile eine Zahl und das negative davon steht?
entsprechend bei U1 in der ersten Spalte.

Die anderen Einträge müssen ja lediglich reelle zahlen sein, um zu U1 bzw. U2 zu gehören, richtig?

Wie verhält es sich denn nun mit den Dimensionen? Lag ich richtig?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Basen waren gut gewählt und die Dimensionen sind richtig. Es fehlt aber noch die Dimension von .
 
 
Vazrael Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich U1+U2 berechne..

Dann nehme ich Basisvektoren aus U2 , die nicht in U1 sind und ergänze U1 entsprechend.

D.h. ich nehme die Basen:

u1, u2, u3, u4, u5 ?!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst schauen, ob ein Basisvektor beispielsweise aus nicht in vorhanden ist. Ist dies der Fall, dann muss die Dimension von auf alle Fälle um mindestens 1 größer sein als die Dimension von . Da aber dann mit 4 schon die maximale Dimension erreicht ist, sollte die Sache klar sein.

Es reicht also schon der Nachweis, dass es einen Vektor in gibt, der nicht in liegt.
Vazrael Auf diesen Beitrag antworten »

smile

Ist dann

richtig?

Doch wenn ich U1 und U2 schneide, habe ich einen gemeinsamen Vektor, nämlich u3 bzw. u6. Wieso ist dann die Dimension gleich 2? verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, der Schnitt ist 2-dimensional. Bilde z.B.
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