Lösungen für z^4 = -1 in C

07.12.2013, 18:46

gilbert003

Lösungen für z^4 = -1 in C

Meine Frage:
Ich soll alle Lösungen für $\begin{eqnarray*} z^4 = -1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ finden.

Meine Ideen:
Dazu habe ich -1 erst einmal in Polarform dargestellt: $\begin{eqnarray*} e^(i*\pi) \end{eqnarray*}$ .
Nun habe ich eine wunderschöne Formel um alle 4 Lösungen zu berechnen. für k=1,..,n .
Für k=1 bekomme ich $\begin{eqnarray*} e^(i*\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$ heraus.
Ich weiß aus zuverlässige Quelle das ich hierfür die Lösung $\begin{eqnarray*} z_{1} = \sqrt[4]{-1} \end{eqnarray*}$
Nur weiß ich leider nicht wie ich auf dieses Ergebnis kommen kann. Ich weiß das ich $\begin{eqnarray*} e^(i*\phi) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} cos (\phi) + i * sin (\phi) \end{eqnarray*}$ darstellen kann. Nur bekomme ich dann 2 gebrochene Zahlen und i dabei heraus, und weiß nicht wie ich ich letztendlich auf die richtige Lösung komme. Kann jemand weiterhelfen?

07.12.2013, 18:52

Captain Kirk

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Hallo,

dein Ansatz ist gut und deine erste Lösung ist richtig.

Deine Quelle allerdings ist nicht zuverlässig, eher ahnungslos.
Was soll denn $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{-1} \end{eqnarray*}$ überhaupt sein?
Insbesondere da ja ganze 4 Zahlen dafür in Frage kommen, nämlich die die du mit deinem Ansatz ausrechnen kannst.

07.12.2013, 19:05

gilbert003

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RE: Lösungen für z^4 = -1 in C
Okay, verzeihen wie es der Quelle, sie ist nicht menschlich. Wolfram Alpha gibt mir das als alternative Darstellung, die irgendwie weitaus schöner aussieht *duck* .

Das heißt

$\begin{eqnarray*} e^(i*\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$

ist damit meine erste und endgültige Lösung (für z1) ? Die anderen 3 zu berechnen wird kein Problem sein, ist nur stumpfen Einsetzen und ausrechnen.
Ich dachte halt nicht das das so reichen könnte.

07.12.2013, 19:17

Captain Kirk

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Was ist denn eine endgültige Lösung?
Ich kenn sowas nur aus Actionfilmen.

Die Lösung von WolframAlpha mag auf den ersten Blick schön aussehen ist aber mathematisch vollkommer Unsinn und verführt zu extrem irrigen Annahmen. (es ist auch im wesentliche nur eine Rechenmaschine)
Der Klassiker wäre der Beweis: $\begin{eqnarray*} -1=i \cdot i=\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{-1 \cdot -1}=\sqrt{1}=1 \end{eqnarray*}$ .

Die Exponentialform ist die absolut Übliche in diesem Fall.
Niemand ist dazu verpflichtet komplexe Zahlen generell in der Form a+ib aufzuschreiben.

07.12.2013, 19:50

gilbert003

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Mit endgültger Lösung meinte ich die Form der Lösung die mein Tutor wohl als richtiges Ergebnis abhaken wird Big Laugh

Aber du sagtest ja bereits, die Exponentialform ist üblich.
Dann dank ich dir herzlich für die Klarstellung Augenzwinkern

07.12.2013, 22:58

RavenOnJ

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RE: Lösungen für z^4 = -1 in C

Zitat:

Original von gilbert003

Nun habe ich eine wunderschöne Formel um alle 4 Lösungen zu berechnen. für k=1,..,n .
Für k=1 bekomme ich $\begin{eqnarray*} e^(i*\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$ heraus.

Was soll denn k und n sein? Die allgemeine Lösung ist

$\begin{eqnarray*} \exp\left(i(\frac \pi 4 + \frac {n\pi} 2)\right) = \exp\left(i \frac {(2n+1)\pi} 4\right) , n\in\{0,1,2,3\} \end{eqnarray*}$

Der Faktor $\begin{eqnarray*} exp\left(i\frac {n\pi} 2\right) \end{eqnarray*}$ ergibt zur 4. Potenz genommen immer 1.

08.12.2013, 01:35

mYthos

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RE: Lösungen für z^4 = -1 in C

Zitat:

Original von RavenOnJ
...
Was soll denn k und n sein? ...
...

Bei der Kreisteilungsgleichung dieser Art ist die Schreibweise mit n und k durchaus üblich.
n ist der Wurzelexponent und k zählt von 0 bis n-1, um damit die Einheitswurzeln anzugeben.

$\begin{eqnarray*} z_k = e^{i (\frac{\varphi} n+k \ \cdot \frac{2 \pi}n)} \ \ k = 0, 1, .., n-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_k = e^{i (\frac{\pi}4+k \cdot \frac{\pi}2)} \ \ k = 0, 1, .., \color{red}3 \end{eqnarray*}$

EDIT: Fehler korrigiert.

mY+

08.12.2013, 02:07

RavenOnJ

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RE: Lösungen für z^4 = -1 in C
@mythos
In dem Sinne wären die Lösungen (nach Umbenennung k <-> n):

$\begin{eqnarray*} \exp\left(i(\frac \pi 4 + \frac {k\pi} 2)\right) = \exp\left(i \frac {(2k+1)\pi} 4\right) , k\in\{0,1,2,3\} \end{eqnarray*}$

08.12.2013, 02:11

mYthos

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Ja, sorry, die 4 ist mir da hineingerutscht, das hört natürlich mit 3 auf, war nur ein Schreibfehler. Danke!

mY+

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