Unterraum: richtig oder falsch?

07.12.2013, 23:04	drrr	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum: richtig oder falsch? Meine Frage: Es geht um die Aufgabe, ob die Aussagen richtig oder falsch sind: (a) Der Kern einer linearen Abbildung F : V --> W ist stets ein Unterraum von W. (b) Der Durchschnitt zweier Unterräume U1, U2 eines Vektorraums V ist ebenfalls ein Unterraum von V . (c) Die Vereinigung zweier Unterräume U1, U2 eines Vektorraums V ist ebenfalls ein Unterraum von V . (d) Die Verknüpfung F ° G zweier linearer Abbildungen F und G, definiert durch F ° G(x) = F(G(x)), ist wieder eine lineare Abbildung. Meine Ideen: a) falsch, ich habe nicht verstanden wieso, aber in der Vorlesung erinnere ich mich gehört zu haben, dass das nicht von w sondern von V ist. b) richtig, da der Durchschnitt die Teile enthält, die beide gemeinsam haben c) richtig, da es eine Vereinigung ist und somit alles von beiden enthält d) hier verstehe ich die aussage nicht so ganz
08.12.2013, 00:48	drrr	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, also ich hab noch mal genauer nachgegoogelt und habe herausgfunden, dass b zutrifft aber c nicht zutrifft. wieso ist das so?
08.12.2013, 01:59	YogSothoth	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, zu a): Wie ist denn der Kern einer linearen Abbildung definiert? zu b): Ihr müsstet in der Vorlesung mal Bedingungen gehapt haben, wann eine Teilmenge ein Untervektorraum ist, diese kann man einfach überprüfen. zu c): Wenn dies nicht der Fall ist kann man ein Gegenbeispiel angeben. Hierzu könnte man z.B. mal den Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ betrachten und dazu die Untervektorräume $\begin{eqnarray} U:=\{(x,0,0)\|x\in\mathbb R\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V:=\{(0,x,0)\|x\in\mathbb R\} \end{eqnarray}$ betrachten. Ist $\begin{eqnarray} U\cup V \end{eqnarray}$ wieder ein Untervektorraum? zu d): Hier ist zu überprüfen ob für lineare Abbildungen $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \lambda\in K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_1,v_2\in V \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} f(g(v_1+v_2))=f(g(v_1))+f(g(v_2)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(g(\lambda v_1))=\lambda f(g(v_1)) \end{eqnarray}$ gilt also ob $\begin{eqnarray} f\circ g \end{eqnarray}$ wieder linear ist.
08.12.2013, 11:09	drrr	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Es seien V, W R-Vektorräume und F: V --> W linear. Dann heißt Ker(F)={x € V: F(x)=0} b) das ist irgendwie so, dass der Nullpunkt in beiden enthalten ist, und deswegen ist die Aussage richtig? c) (x, x, 0) ist keinen der beiden Unterräume enthalten oder so? d) stimmt?

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