| 09.10.2003, 17:36 |
Hauptmann |
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Radizieren
Hi!
kann mir mal jemand das Radizieren genau erklären?
Danke schon im viraus |
| 09.10.2003, 17:46 |
guest |
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was willst du denn erklärt haben, das genaue verfahren um wurzeln auch ohne taschenrechner zu berechnen, oder einfach nur die wurzelgesetze? |
| 09.10.2003, 17:55 |
jama |
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oder willst du wissen, was es heißt 
radizieren -> wurzeln ziehen.
beispiel:
2 ist die wurzel aus 4, weil 2 * 2 = 4
3 ist die wurzel aus 9, weil 3 * 3 = 9
usw.
das potenzieren hebt das radizieren wieder auf, d.h.
potenzieren und radizieren sind umgekehrte rechnenoperationen.
folgendes hat unsere "tipps & tricks" kategorie dazu zu bieten
http://www.matheboard.de/tnt_anschauen.php?tid=78
gruß,
jama |
| 09.10.2003, 18:00 |
Hauptmann |
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nein
ich würde gerne wissen wie man das ohne TR machen kann
einfach so aus Neugier... |
| 09.10.2003, 18:39 |
Thomas |
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| Zitat: |
Wie bei den Grundrechenarten existiert auch für das Ziehen der Quadratwurzel ein Verfahren der schriftlichen Berechnung, das seinerseits nur mit den Grundrechenarten auskommt.
Die grundlegende Idee des Verfahrens ist, daß man Zahlen im Dezimalsystem als Summe ihrer Stellen schreiben kann: Zum Beispiel ist 47 = 40 + 7. Das Quadrat von 47, also 472, wäre dann gleich (40 + 7)².
Bekanntlicherweise läßt sich ein derartiger Ausdruck (a + b)² nach der 1. binomischen Formel so vereinfachen: (a + b)² = a² + 2ab + b². Im obigen Zahlenbeispiel: (40 + 7)² = 40² + 2·40·7 + 7² = 1600 + 560 + 49 = 2209.
Der Teil 2ab + b2 bleibt dabei immer kleiner als der Abstand zwischen a2 und der nächst größeren Möglichkeit für a2, denn die ist (a + 10)² = a2 + 20a + 100. Die Differenz zu a2 beträgt a² + 20a + 100 - a² = 20ab + 100, und das ist stets größer als 2ab + b², weil b<10 und a>=10.
Wenn man nun umgekehrt vorgeht und versucht, zu einer drei- oder vierstelligen Zahl c zwei Zahlen a und b zu finden mit c = (a + b)², also Wurzel(c) = a + b, dann kann man a aufgrund dieser Eigenschaft eindeutig bestimmen.
Das Quadrat der zweistelligen Zahl a ist drei- oder vierstellig (a² c= {100; 400; 900; 1600; ... ; 8100} ). Damit findet man a (d.h. die erste Ziffer der Wurzel), indem man die größte Quadratzahl kleiner oder gleich der dritten und vierten Stelle (von rechts) von c findet. a ist dann das Zehnfache der Wurzel dieser Quadratzahl.
Beispiel: Gesucht sei die Wurzel von 1521. Man trennt die dritte und vierte Stelle von rechts vom (gedachten) Komma ab, also 15, und findet mit 9 die größte Quadratzahl kleiner oder gleich dieser Zahl. Damit ist die erste Ziffer der Wurzel 3 (= Wurzel(9)) und a ist 3·10 = 30.
Nun zieht man von 1521 das Quadrat von 30 ab:
Wurzel(1521) = 3...
- 900
————
621
Der Rest 621 muß nun gleich 2ab + b² sein. Das b muß noch gefunden werden. Weil a>b, ist 2ab>b² und 2ab eine gute Anfangsnäherung für die Berechnung von b: 621 » 2ab, und b » 621/(2a). Die Näherung kann nur zu groß sein (wegen der Vernachlässigung von +b²). Durch Ausprobieren (um 1 vermindern) findet man leicht den richtigen Wert. (Siehe unten.)
Statt mit a=30 rechnen wir mit der oben gewonnenen ersten Ziffer der Wurzel w=3 und schreiben b ca. 621/(20w) = 621/60 = 10,35.
Ist also b=10? — Nein! Schon weil b ja höchstens 9 sein kann (es ist ja die Einerstelle der Wurzel), muß die Näherung b=10 zu groß sein. Das ist aber längst nicht alles, was b erfüllen muß:
Der Term 2ab + b² = 20wb + b² muß kleiner oder gleich dem Rest 621 sein. Daher muß b solange um eins nach unten korrigiert werden, bis diese Forderung erfüllt ist. Mit b=9 ergibt sich 20wb + b² = 60·9 + 81 = 621, also genau der Rest. Mit b=9 ist somit die zweite Ziffer des Ergebnisses und außerdem sogar die genaue Quadratwurzel von 1521 gefunden.
Wurzel(1521) = 39
- 900 = a2
———— Berechne näherungsweise b mit r/(2a).
621 =: r Korrigiere b nach unten, bis 2ab + b² <= r
- 621 = 2ab + b²
————
0
Es ist mit Blick auf den Rechenaufwand übrigens günstiger, den Term 2ab + b² in der Form (2a + b)·b zu berechnen.
Bei drei- und mehrstelligen Wurzeln Wurzel(R) = a + b + c +... kann ähnlich vorgegangen werden. Denn nach dem zweiten Schritt des oben erläuterten Verfahrens bleibt ein Rest, in dem die Summanden a2, 2ab sowie b2 bereits fehlen und die weitaus größten verbleibenden Summanden 2ac und 2bc sind. Wegen 2ac + 2bc = 2c(a+b) = 2c·10w bekommt man wiederum die beste Näherung für die nächste Ziffer c, indem man den Rest durch das Zwanzigfache der bereits bekannten Ziffern w der Wurzel teilt.
Da n-stellige Zahlen 2n-stellige oder 2n-1-stellige Quadrate haben, gibt es eine Korrelation zwischen je zwei Ziffern des Radikanden und je einer Ziffer der Wurzel. Das stellte sich ja schon oben heraus. Eine n-stellige Zahl hat eine Int(n/2+1)-stellige Wurzel. Im Dezimalsystem (wie in jedem Stellenwertsystem) ist die minimale Änderung jeder Ziffer immer größer als die maximale Änderung ihres rechten Nachbars. Die Quadrate der Stellen verhalten sich natürlich ebenso.
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Quelle: http://home.t-online.de/home/arndt.bruen...urzelziehen.htm
In der Quelle steht dann noch ein Zahlenbeispiel sowie ein paar Scipts zur Veranschaulichung.
Interessant ist auch noch das Heron-Verfahren:
http://home.t-online.de/home/arndt.bruen.../heronframe.htm
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| 09.10.2003, 21:59 |
Hauptmann |
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he
danke
cih werds morgen mal durcharbeiten(habs nur so überflogen) |
| 09.10.2003, 23:07 |
guest |
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Quelle ist Mathematik und Leben, Dr.J.Gäbler, Band 1, 3. Auflage, VEB Fachbuchverlag Leipzig, 1963 zu finden auf den Seiten 195ff
| Zitat: |
Die Quadratzahlen 1ziffriger Zahlen sind 1- oder 2ziffrig
"" 2 "" 3- "" 4 ""
"" 3 "" 5- "" 6 ""
usw.
Hieraus folgt:
Die Quadratwurzel aus einer 1- oder 2ziffrigen Zahl ist 1ziffrig
usw.
Zur besseren Übersicht teilt man einen ganzzahligen Radikande von rechts nach links in Gruppen zu je zwei Ziffern ein, z.b. Wurzel(74'37'89), Wurzel(2'97'53). Die Stellenzahl der Wurzel ist dann gleich der Anzahl der so erhaltenen Gruppen.
Soll die Wurzel aus einem Dezimalbruch gezogen werden, so wird dieser vor dem Radizieren in Gruppen zu je zwei ZZiffern sowohl nach links als auch nach rechts vom Komma aus zerlegt, z.b. Wurzel(3'67,92'54).
Das rechnerische Verfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel beruht auf der Anwendung der Gleichung (12-22) [Damit ist die erste binomische Formel (a+b)² = a²+2ab+b² gemeint] und ihrer Erweiterungen.
(29-1) (a+b)² = a²+2ab+b²
(29-2) (a+b+c)² = [(a+b)+c]² = (a+b)²+2(a+b)c+c² = (a²+2ab+b²)+2(a+b)c+c²
usw.
Das Quadrat einer zweistelligen Zahl ermitteln wir mit Hilfe von (29-1), z.b.
47² = (40+7)² = 40²+2*40*7+7² = 1600+560+49 = 2209
Das Quadrat einer dreistelligen Zahl bestimmen wir mit Hilfe von (29-2), z.b.
123² = (100+20+3)² = (100²+2*100*20+20²)+2*(100+20)*3+3² = (10000+4000+400)+720+9 = 15129
usw.
Durch Umkehrung dieser Quadratbildung erhalten wir das Verfahren des Quadratwurzelziehens. |
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