Newton Verfahren zur Eigenwertberechnung

08.12.2013, 18:53	mrWinston	Auf diesen Beitrag antworten »
Newton Verfahren zur Eigenwertberechnung Meine Frage: Hallo an alle! Ich hänge grade an folgender Aufgabe fest vielleicht kann mir ja jemand helfen: [attach]32332[/attach] Meine Ideen: Bei Aufgabe 1 habe ich als Ableitung von $\begin{eqnarray} f(\begin{pmatrix} x \\ \lambda \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ (also die Jacobi-Matrix) folgendes raus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda - a_{11} & ... & -a_{1n} & x_1 \\ ...& ... & ... & ... \\ -a_{n1}& ... & \lambda - a_{nn} & x_n \\ x_1 & ... & x_n & 0 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ oder anders formuliert: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda I - A & x\\ x^T & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ als nxn-Einheitmatrix Das Newton Verfahren kann ich damit einfach aufschreiben und es ergibt sich: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_{k+1} \\ \lambda_{k+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{k} \\ \lambda_{k} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda I - A & x\\ x^T & 0\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} \lambda_k x_k - A x_k \\ 1/2 \|\|x_k\|\|^{2}_2 - 1/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich hänge jetzt bei dem zweiten teil der Aufgabe. Wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \lambda I - A & x\\ x^T & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ regulär (oder invertierbar) ist? Aus den Voraussetzungen, dass $\begin{eqnarray} x^ \end{eqnarray}$ Eigenvektor zu $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist, weiß ich, dass $\begin{eqnarray} (\lambda I - A)x^* = 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Kann ich das irgendwie anwenden? Liebe Grüße und vielen Dank schonmal winston

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