Austausch von identisch verteilten Zufallsgrößen in der Kovarianz

10.12.2013, 12:02

KA88

Austausch von identisch verteilten Zufallsgrößen in der Kovarianz

Hallo zusammen,

ich habe folgendes Problem: In der Lösung einer Aufgabe wird folgende Aussage ohne Beweis verwendet:

Sind $\begin{eqnarray*} X, \, Y, \, Z \end{eqnarray*}$ identisch verteilte, nicht konstante Zufallsvariablen, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} cov(X,Y) = cov(X,Z) = cov(Y,Z) \end{eqnarray*}$

Leider sehe ich überhaupt nicht, dass es gilt oder wie man es beweisen könnte.

Da
$\begin{eqnarray*} cov(X,Y) = E\big[ (X - EX) (Y - EY) \big] = E(X\cdot Y) - (EX)(EY) \end{eqnarray*}$
sowie aufgrund der identischen Verteiltheit
$\begin{eqnarray*} EX = EY = EZ \end{eqnarray*}$
gilt, muss man doch letzlich zeigen, dass z.B.
$\begin{eqnarray*} E(XY) \int XY \, dP= \int XZ \, dP = E(XZ) \end{eqnarray*}$
gilt, aber daran scheitere ich...
Kann mir da bitte jemand helfen?

13.12.2013, 10:45

RAP

Auf diesen Beitrag antworten »

Bist Du sicher, dass das ohne Unabhängigkeit funktionieren soll?

Betrachte z.B. einen Würfel, also $\begin{eqnarray*} \Omega =\{ 1,2,3,4,5,6 \} \end{eqnarray*}$ und definieren drei Zufallsvariablen:

$\begin{eqnarray*} X(\omega) = \left\{\begin{array}{ll} 1, & \omega = 1,2\\ 0, & sonst\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Y(\omega) = \left\{\begin{array}{ll} 1, & \omega = 3,4\\ 0, & sonst\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z(\omega) = \left\{\begin{array}{ll} 1, & \omega = 1,6\\ 0, & sonst\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} P(X=1)=P(Y=1)=P(Z=1)= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X=0)=P(Y=0)=P(Z=0)= \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ , also Gleichverteilung.

Dann $\begin{eqnarray*} E[XY]= 0 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ nie beide gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ werden.

Jedoch ist $\begin{eqnarray*} E[XZ] \neq 0 \end{eqnarray*}$

13.12.2013, 13:28

RAP

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte natürlich "gleiche Verteilung" nicht "Gleichverteilung"

13.12.2013, 13:35

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es ist offensichtlich, dass hier irgendeine Voraussetzung fehlt, denn ansonsten könnte man einfach $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unabhängig sowie $\begin{eqnarray*} Z=Y \end{eqnarray*}$ als Gegenbeispiel wählen mit dann

$\begin{eqnarray*} \operatorname{cov}(X,Y) = 0 < \operatorname{var}(Y) = \operatorname{cov}(Y,Z) \end{eqnarray*}$ .

Ein mögliches Beispiel für so eine zusätzliche Voraussetzung wäre

Korrelationskoeffizient/Zufallsgrößen/X+Y+Z=c

aber das muss ich KA88 ja nicht sagen, da ja er in jenem Thread den richtigen Tipp gegeben hatte. Augenzwinkern

14.12.2013, 17:54

KA88

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

erstmal danke für die Antworten!

Entschuldigung für meine Unvollständigkeit bzgl. den Voraussetzungen. Bei einer Nachfrage an einen Mitarbeiter der Uni hat dieser gar nicht darauf hingewiesen, dass man tatsächlich noch eine weitere Voraussetzung benötigt, sondern lediglich gemeint, dass es offensichtlich wäre, dass die Kovarianzen übereinstimmen, wenn die ZGen identisch verteilt sind. Daher habe ich es hier mal ohne die Voraussetzung gepostet. unglücklich

Leider hilft mir die Voraussetzung immer noch nicht für mein eigentliches Problem. Denn in dem Beitrag, den HAL 9000 zitiert/verlinkt hat, genügt es ja (für den Fall von 3 ZGen), zu wissen das die Kovarianz symmetrisch ist, was man sofort an der Definition sieht.
Für den allgemeinen Fall benötige ich aber scheinbar eben genau die Aussage
$\begin{eqnarray*} \forall_{i,j \in \{1,\dots , n\}} \, : \, cov(X_i, X_j) = cov(X_1, X_2) \end{eqnarray*}$ aus meinem ersten Beitrag (unter der zusätzlichen Voraussetzung $\begin{eqnarray*} X_1 + X_2 + X_3 + ... + X_n = c \end{eqnarray*}$ ).
Nur sehe ich immer noch nicht, wie ich das zeigen soll

14.12.2013, 18:00

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von KA88
Nur sehe ich immer noch nicht, wie ich das zeigen soll

Ich bin ein wenig durcheinander: Wie du was zeigen willst? verwirrt

15.12.2013, 11:22

KA88

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, war wohl wieder zu geizig mit meinen Ausführungen:

In dem verlinkten Post geht es ja darum zu zeigen, dass der Korrelationskoeffizient von X und Y gleich -1/2 ist.
Außerdem soll man aber noch den allgemeinen Fall zeigen (das steht relativ weit oben im ersten Beitrag von Steviehawk), d.h. man soll zeigen, dass für n identisch verteilte ZGen $\begin{eqnarray*} X_1 , X_2 , \dots X_n \end{eqnarray*}$ (V1) mit $\begin{eqnarray*} X_1 + \dots + X_n = c \end{eqnarray*}$ (V2) gilt, dass:
$\begin{eqnarray*} \rho_{X_1 X_2} = -\frac{1}{n-1} \end{eqnarray*}$
(das ist meine - von dem Uni-Mitarbeiter bestätigte - Vermutung der allgemeinen Aussage)

Ich habe mir dazu schon folgendes überlegt (was laut Mitarbeiter auch der Musterlösung entspricht):
Da die Kovarinanz bilinear und symmetrisch ist, gilt:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(\sum_{i=1}^n X_i) = \operatorname{cov}(\sum_{i=1}^n X_i \, , \, \sum_{j=1}^n X_j) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \operatorname{cov}(X_i , X_j ) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) \; + \; \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n 2\cdot \operatorname{cov}(X_i , X_j) \end{eqnarray*}$ (Gleichung 1)

Andererseits gilt wegen $\begin{eqnarray*} X_1 + \dots + X_n = c \end{eqnarray*}$ auch, dass:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(\sum_{i=1}^n X_i) = \operatorname{Var}(c) = 0 \end{eqnarray*}$
also folgt zusammen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) = - 2\cdot \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n \operatorname{cov}(X_i , X_j) \end{eqnarray*}$ (Gleichung 2)

Da die ZGen identisch verteilt sind (also $\begin{eqnarray*} P_{X_i} = P_{X_1} \forall_i \end{eqnarray*}$ ), gilt $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X_i) = \operatorname{Var}(X_1) \end{eqnarray*}$ , denn:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X_1) = \int (X_1)^2 dP - (\int X_1 dP)^2 = \int \varphi dP_{X_1} - (\int \operatorname{id} dP_{X_1})^2 = \int \varphi dP_{X_i} - (\int \operatorname{id} dP_{X_i})^2 = \operatorname{Var}(X_i) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \varphi(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ .
Damit wird die linke Seite in der obigen Gleichung 2 zu:
$\begin{eqnarray*} n\cdot \operatorname{Var}(X_1) \end{eqnarray*}$ .

Man sieht außerdem leicht, dass auf der rechten Seite in Gleichung 2 genau $\begin{eqnarray*} (n^2 - n) \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ Summanden stehen, denn in Gleichung 1 hat die Doppelsumme $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \operatorname{cov}(X_i , X_j ) \end{eqnarray*}$ offensichtlich $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ Summanden, wovon in der nächsten Umformung zunächst $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Stück abgespalten werden (durch die Summe über die Varianzen), es bleiben also $\begin{eqnarray*} n^2 - n \end{eqnarray*}$ Summanden wovon schließlich je zwei zusammengefasst werden (aufgrund der Symmetrie der Kovarianz).

Wenn nun also $\begin{eqnarray*} \forall_{i,j} \operatorname{cov}(X_i , X_j) = \operatorname{cov}(X_1, X_2) \end{eqnarray*}$ gilt (unter den oben gegebenen Voraussetzungen (V1) und (V2) ), dann würde Gleichung 2 sich wandeln in:
$\begin{eqnarray*} n\cdot \operatorname{Var}(X_1) = -n(n-1)\operatorname{cov}(X_1 , X_2) \end{eqnarray*}$
woraus sofort folgt, dass
$\begin{eqnarray*} \dfrac{\operatorname{cov}(X_1 , X_2)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X_1)\cdot\operatorname{Var}(X_2) }} = \dfrac{\operatorname{cov}(X_1 , X_2)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X_1)\cdot\operatorname{Var}(X_1) }} = \dfrac{\operatorname{cov}(X_1 , X_2)}{ \operatorname{Var}(X_1) } = - \dfrac{1}{n-1} \end{eqnarray*}$

So, in der Hoffnung nun niemand mit meinen allzu ausführlichen Ausführungen erschlagen zu haben, stelle ich nun nochmal die Frage zu eben jenem Punkt, der mir fehlt, nämlich dass unter den Bedingungen (V1) und (V2) gilt, dass
$\begin{eqnarray*} \forall_{i,j} \operatorname{cov}(X_i , X_j) = \operatorname{cov}(X_1, X_2) \end{eqnarray*}$ .
Kann mir jemand sagen, wie ich das zeige?

Neue Frage »

Antworten »

Austausch von identisch verteilten Zufallsgrößen in der Kovarianz

Verwandte Themen