Rang

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Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
Rang
Meine Frage:
Es seien A und B quadratische Matrizen vom Format n x n. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von rg(A) und rg(B) den Rang der 2n x 2n Matrix

.

Meine Ideen:
Ich habe keine Idee, wie ich den Rang in Abhängigkeit vom Rang A und Rang B ermitteln soll. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang
Hallo Lynn,

Wenn Du Vielfache der Zeilen oder Spalten der Matrix zu anderen Zeilen bzw. Spalten hinzuaddierst, veränderst Du den Rang nicht. Analoges gilt für Blöcke.
So haben auch die folgenden Matrizen den gleichen Rang wie Deine Ausgangsmatrix:


Meine Umformungen helfen jetzt noch nicht so viel, aber auf ähnliche Weise kannst Du in einem der Blöcke eine Null erzeugen. Augenzwinkern

Gruß
Reksilat
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang
Prinzipiell muss ich doch erzeugen? Um dann zusagen, dass sich der Rand von der Matrix aus den Rängen von A und B+B² ergibt oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang
Prinzipiell ja, aber ich würde Dir empfehlen unten rechts die Null zu erzeugen.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang
Danke für den Hinweis. Leider komm ich gerade nicht weiter, wie ich am besten unten rechts eine Null erzeuge.
Ich habe hier unten rechts mit A multipliziert.
Hier habe ich - AB gerechnet.
Und hier dann - AB².

Ist das so richtig? Ich befürchte jedoch, dass ich auch unten links diese Schritte ausführen muss. ist das richtig?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang
Nein, Du darfst nicht einfach Teilmatrizen mit irgendwas multiplizieren - das verändert den Rang!
Du darfst nur das X-fache einer Spalte zu einer anderen Addieren. Letztlich wie beim Gauß-Algorithmus.

Du kannst zum Beispiel mal die ersten n Spalten von den letzten n Spalten abziehen.
Die ersten n Spalten entsprechen hier dem Matrixblock
 
 
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang

Das habe ich dann da raus. Stimmt das?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang
Nun würde ich das B-fache der ersten Spalten subtrahieren in der 2 Spalte, sodass ich erhalte.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang
Freude
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