Nilpotenz |
10.12.2013, 21:49 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nilpotenz Es sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension n. Weiter sei ein Endomorphismus von V. 1) Zeigen Sie: ² = 0, so ist Bild(phi) Kern(phi) leider habe ich kaum einen Ansatz. Außer, dass die Abbildungsmatrix mit sich selbst mutlipliziert den Rang vermindern muss und dadurch die Diagonale und somit auch alles unter der Diagonalen Null sein muss. Also diese: Denn sonst wäre es mit sich selbst Mal genommen nicht 0. PS: das ist leider nur die erste von 4 Teilaufgaben Ich hoffe ihr könnt mir vielleicht weiterhelfen mit ein paar stumpern in die richtige Richtung. Danke im Vorraus. |
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10.12.2013, 22:02 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Nilpotenz Ach du grüne Neune, bloß nicht so kompliziert denken. Ganz stur die Mengeninklusion zeigen. Also: Sei . Zeige: Dann gilt auch .Das ist in maximal zwei Zeilen erledigt. Nutze das, was du über weißt. |
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10.12.2013, 22:24 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also: Um eins vorab zu sagen, ich versuche mich hier wirklich anzustrengen, allerdings sind solche trocknen (meiner Meinung nach ist dieser "trocken") Beweise nicht mein Ding. Die 2 Voraufgaben hatte ich auch schon gelöst. Nun zur Aufgabe: Sollte das in etwa so aussehen? Wir wissen: Annahme: Bew: Darauß folgern wir ==> ?? Entschuldigung, habe etwas länger gebraucht (Habe grade das zweite mal in Latex etwas verfasst) |
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10.12.2013, 22:31 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Gleichungskette ist leider ein ziemliches Fiasko. Du musst da immer ein bisschen drauf achten, was für Sachen du miteinander gleichsetzt. Du setzt hier z.B. Abbildungen mit Elementen des Vektorraums V gleich, dabei sind das strukturell komplett verschiedene Dinge. Annahme: So, wenn a im Bild liegt, hat a auch ein Urbild. Formal: Das ist alles noch sture Definition. Da ein Endomorphismus ist, ist aber wieder ein Element aus V. Also können wir auf die Gleichung nochmal auf beide Seiten der Gleichung die Abbildung loslassen. Mach das mal und schau dann mal, was da steht. Vielleicht hast du oben ja auch wohl das richtige im Kopf gehabt, aber das ist wie gesagt sehr ungünstig aufgeschrieben, da würde dein Tutor unweigerlich den Rotstift zücken müssen. |
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10.12.2013, 22:41 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
genau das hatte ich eigentlich im Kopf... Ich weiß was du damit meinst und eigentlich ist es auch klar -.- |
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10.12.2013, 23:00 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aufgabe b) Ist Zeigen Sie: Ist so ist n gerade Wenn so müssen deren Dimensionen gleich sein???? (Hier mein Punkt, wo ich mir nicht sicher bin...wenn nicht, kannst du hier schon aufhören zu lesen) dim(V) = n Kann ich das dann über nen Widerspruchsbeweiß mit dem Rangsatz führen? Der Rangsatz besagt ja: => Bild und Kern müssen gleiche Dimension haben ==> da n ungerade: ===> es gibt keine ganze Zahl, die ich mal 2 nehmen kann um auf ein ungerades n zu kommen ====> Widerspruch... |
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10.12.2013, 23:06 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
müsste man nicht darüber begründen können, dass sowohl Kern als auch Bild Untervektorraum von V sind ? Da die beiden gleich sind, haben sie natürlich die gleiche Dimension ....folglich, das unten |
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10.12.2013, 23:32 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist alles richtig, was du schreibst. Man landet bei und damit ist klar, dass der Faktor 2 auch in stecken muss, also gerade ist. |
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10.12.2013, 23:43 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
cool dafür dass ich mir es ganz alleine überlegt hatte nun zur c) :/ da graußt es mir etwas vor muss ich ehrlich gestehen Es sei und es existiere ein sodass . Man nennt dann nilponent. Es sei nun das kleinste Element der Menge . Zeigen Sie, dass es ein gibt mit . Man beweise, dass für ein solches v die Vektoren {} linear unabhängig sind. |
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10.12.2013, 23:47 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das geht doch eigentlich schon aus der Definition von Nilpotenz hervor....wenn m das kleinstmögliche ist, dann existiert ja kein noch kleineres, für das gilt ==> Es existiert ein v mit |
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10.12.2013, 23:58 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese "Aufgabe" klingt komplett bescheuert. Was soll man da denn "zeigen"? Für mich geht das auch schon eindeutig aus dem hervor, was zuvor in der Aufgabenstellung vorgegeben wurde. Du kannst ja deine Begründung, die du hier schon geschrieben hast, dazuschreiben. Ich wüsste sonst auch nichts, was man da noch großartig zu schreiben könnte. Die c (ich meine jetzt den sinnvollen Teil der Aufgabe) ist jedenfalls an sich auch nicht schwer. Wir nehmen an , für ein festes . Damit ist natürlich z.B. auch und und so weiter und so fort. Bis hin zu . Und natürlich ist auch . Wir nehmen nun ferner an: Die sind Skalare des Körpers, der dem Vektorraum V zugrunde liegt. Gemäß Definition von linearer Unabhängigkeit ist nun zu zeigen: Zu diesem Zweck solltest du auf beiden Seiten der Gleichung mal erneut die Abbildung anwenden. Verwende, dass linear ist und schau mal, was sich ergibt. Wenn einmal der Groschen gefallen ist, ist der Rest ein Klacks. |
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11.12.2013, 00:24 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das bis zur linearität war mir zwar klar, aber das mit dem anwenden ist ne sehr coole idee, da hat es nämlich gehangen. ==>wird dann quasi zu ist ja eigentlich immer 0, da sonst unsere linearität bezüglich der Multiplikation mit den skalaren verletzt wäre, wenn ich mich nicht irre. ==> ==>weiter umformen mithilfe der linearität hmm... ich überlege mal weiter |
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11.12.2013, 00:42 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, mir fällt auf, dass sein muss und dadurch =>und egal wie oft ich phi noch auf phi^m draufschicke, es kommt immer null raus Aber das führt mich doch genau in die entgegengesetzte richtung...nämlich, dass ich lambda1 so wählen kann wie ich will ==> müssen nicht alle lambda = 0 sein ==> linear abhängig |
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11.12.2013, 00:51 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schau mal ein bisschen genauer hin. Hier fallen fast alle Summanden weg, weil sie 0 sind. Es bleibt nur ein einziger übrig. Wenn z.B. ist, dann ist doch z.B. auch und so weiter und so fort, weil lineare Abbildungen den Nullvektor stets wieder auf den Nullvektor abbilden. Für heute bin ich dann aber auch weg. Gute Nacht. |
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11.12.2013, 00:54 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist mir auch dann aufgefallen Habs oben geschrieben hast aber anscheinend gerade selber deinen kommentar geschrieben :P , aber danke für alles Vielleicht kannst du mir morgen noch etwas bei der Aufgabe d) helfen wenn du magst wäre echt nett Dir eine gute Nacht |
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11.12.2013, 11:29 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist eine falsche Schlussfolgerung. Es ist richtig, dass wir bei dieser Gleichung so wählen können, wie wir wollen. Das heißt aber nicht, dass das auch bei der ursprünglichen so sein muss. Was übrig bleibt, ist doch das hier: Diese Gleichung muss ja auch stimmen. Was bedeutet das aber für ? |
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11.12.2013, 21:24 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja das muss 0 sein, weil ja schließlich war. Ich könnte ja jetzt eigentlich mit auf beiden seiten mal nehmen, oder? dann wäre es ja dann könnte ich daraus folgern, dass auch lambda2=0 sein muss.... usw.... das zieht sich dann ja hoch bis lambda oder? |
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11.12.2013, 21:32 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
An dieser Stelle zeigen wir natürlich, dass sein muss. Aber genau das ist die prinzipielle Idee, ja. Im nächsten Schritt kriegt man dann , danach usw. |
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11.12.2013, 21:47 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
juhu! freue mich wie ein schlumpf... reine neugierde... hätte man das auch über den Rang begründen können? weil der Rang muss ja eigentlich abnehmen mit jeder Multiplikation einer (ich nenne sie mal) "selbstvernichtenden" Abbildungsmatrix. Laut dem Dimensionssatz und wenn ja nun der Rang abnimmt, legt entweder der Kern zu oder die Dimension von V abnimmt? (wie gesagt, das ist reine neugierde) Aufgabe d) wäre Zeigen sie: Ist nilpotent, so ist PS: Ist das oben vielleicht schon der halbe Lösungsweg für die d) ? |
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11.12.2013, 22:36 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ehrlich gesagt kann ich dir da grad nicht folgen. Jedenfalls: Die in c) gewonnenen Erkenntnisse kannst du in d) unmittelbar anwenden. Da ist nicht mehr viel zu tun. |
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11.12.2013, 22:48 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was ich damit meine ist: wäre ja bei unserer ersten Abbildung z.B. 3= 2 + 1 bei unserer nächsten Abbildung mit phi muss ja aber unser Kern zulegen also: ==> 3 = 1+2 das muss ja so sein, ansonsten haben wir ja später nicht oder liege ich da falsch? Und damit müsste ich dann ja rein theoretisch ja auch die Aufgabe d) begründen können, denn wobei der Rang muss ja quasi eins abnehmen, damit ich später darauf komme |
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11.12.2013, 22:55 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich wüsste aber nicht wie ich das mit der Dimension von V in zusammenhang bringen sollte... Das dazu müsste n>=m (aus der Voraufgabe sein). Die einzig logische erklärung wäre dann für mich mein Kommentar oben drüber |
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11.12.2013, 22:57 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum? Klar ist, dass der Kern irgendwann größer werden muss. Und irgendwann Dimension n hat. Aber warum muss der Kern jedes Mal größer werden? Man weiß doch gar nicht, wie aussieht. Ich sehe nicht, wie du damit begründen willst, dass tatsächlich schon zwingend die Nullabbildung sein muss. |
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11.12.2013, 23:02 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich verkette es doch aber mit sich selbst?! heißt das nicht, dass wenn es einmal einen Rang abnimmt, es dann bei jeder Verkettung einen weiteren abnimmt? |
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11.12.2013, 23:30 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du müsstest erstmal beweisen, dass der Rang einer nilpotenten Matrix kleiner n ist (die Matrix also nicht vollen Rang hat). Dann müsstest du beweisen, dass auch tatsächlich der Rang jedes Mal kleiner wird (das ist durchaus so, ja). Weißt du das denn alles schon? Nimm doch einfach das, was du aus c) schon weißt. Wäre noch nicht die Nullabbildung, wäre die Familie von Vektoren linear unabhängig (es gäbe jedenfalls ein solches v) und das würde dim V=n widersprechen, weil man dann n+1 linear unabhängige Vektoren hätte. Widerspruch, fertig! |
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11.12.2013, 23:38 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hast du natürlich auch wieder recht... |
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11.12.2013, 23:46 | Berndinio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich sage mal vieeeeeeeeeelen Dank für deine enorme Hilfe |
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