Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist

11.12.2013, 11:55

HansiRaffNix.

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Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist

Meine Frage:
Hallo,

die Aufgabe lautet:

Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Man beweise, dass Endk(V) eine K-Algebra ist mit Komposition von ENdomorphismen als Multiplikation und idv als Einselement.

Meine Ideen:
Leider stehe ich momentan komplettauf dem Schlauch und weiß nicht wieter, es wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte

11.12.2013, 11:59

RavenOnJ

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist
Vielleicht liest du dir erst mal durch, was die Anforderungen an eine K-Algebra sind, beispielsweise hier.

Falls bereits bekannt ist, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{End}_K(V) \end{eqnarray*}$ ein Ring ist mit der Endomorphismenkomposition als Multiplikation, wird es besonders einfach, da dann die Bilinearität der Multiplikation bereits klar ist. Du musst dann nur noch das Axiom über die skalare Multiplikation zeigen.

11.12.2013, 12:20

HansiRaffNix.

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist
ich befürchte leider, dass noch nicht klar ist, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{End}_K(V) \end{eqnarray*}$ ein Ring ist.
Was muss ich also als ersten schritt machen?

11.12.2013, 12:30

HansiRaffNix.

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist
Die Axiome für die Bilinearität sind:

$\begin{eqnarray*} (x+y)\cdot z = xz + yz <br /> x\cdot(y+z) = xy + xz <br /> \lambda\cdot(xy) = (\lambda x)\cdot y = x\cdot (\lambda y) \end{eqnarray*}$
Dabei sind $\begin{eqnarray*} X,Y,Z \in A \end{eqnarray*}$ und alle Skalare $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$

11.12.2013, 13:01

RavenOnJ

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist

Zitat:

Original von HansiRaffNix.
Die Axiome für die Bilinearität sind:

$\begin{eqnarray*} (x+y)\cdot z = xz + yz <br /> x\cdot(y+z) = xy + xz <br /> \lambda\cdot(xy) = (\lambda x)\cdot y = x\cdot (\lambda y) \end{eqnarray*}$
Dabei sind $\begin{eqnarray*} X,Y,Z \in A \end{eqnarray*}$ und alle Skalare $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$

Dann zeig das mal! Benutze die Darstellung der Endomorphismen durch Matrizen. Damit sollte das alles relativ einfach gehen.

11.12.2013, 14:15

HansiRaffNix.

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist
Eine K-Algebra ist doch laut Definition ein Ring, oder?
Wenn ich dann die Annahme mache, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{End}_K(V) \end{eqnarray*}$ eine K-algebra ist und ich aufgrund der Rechenregeln für Ringe die Axiome für Bilinearität beweisen kann, reicht das?
Wie meinst du das mit den Matrizen? Anhand eines Beispiels?

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11.12.2013, 15:06

RavenOnJ

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist
Die K-Algebra ist ein Ring laut Definition. Wenn du aber nicht weißt, ob $\begin{eqnarray*} \operatorname{End}_K(V) \end{eqnarray*}$ ein Ring ist, dann musst du das erst mal zeigen, also die Bilinearität. Darüber hinaus gilt in der K-Algebra noch das Axiom zur skalaren Multiplikation, das zusätzlich zur Ringstruktur gelten muss. Also:
$\begin{eqnarray*} \lambda (a\circ b) = a\circ(\lambda b) = (\lambda a)\circ b, \lambda \in K, a,b\in A \end{eqnarray*}$

Die Endomorphismen auf dem Vektorraum V haben eine konkrete Darstellung. Bei einer gewählten Basis von V sind dies die quadratischen $\begin{align*} n\times n \end{align*}$ -Matrizen mit Matrixelementen aus K, wenn V n-dimensional ist. Mit der üblichen Matrixmultiplikation und -addition kannst du alles zeigen. Nicht beispielhaft, sondern ganz allgemein. Beispiele sind in Beweisen nur als Gegenbeispiele angebracht, um etwas zu widerlegen. Ansonsten sind sie keine Beweismittel.

11.12.2013, 15:36

HansiRaffNix.

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist
und wie beweise ich das am einfachsten?
habs eben probiert, aber ich hab nichts gescheites rausbekommen. verwirrt

verwirrt

11.12.2013, 15:58

RavenOnJ

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist
Du weißt doch wohl, wie man Matrizen multipliziert?

11.12.2013, 16:20

HansiRaffNix.

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist
ja das ist mir natürlich klar, nur wie ich die matrizen festlegen soll ist mir nicht klar.
also als was a, b und c , bzw. x,y,z definiert sind

11.12.2013, 16:23

HansiRaffNix.

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist
so:
A =
(a11....a1n)
.
.
(an1....ann) ?

11.12.2013, 16:26

RavenOnJ

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist
Die Matrizen sollen beliebig sein, natürlich $\begin{align*} n\times n \end{align*}$ , wenn V n-dimensional. Also musst du einen ganz allgemeinen Ansatz wählen wie
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}<br /> a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}<br /> \vdots &&&\vdots<br /> a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

usw.

Edit: Benutz mal bitte Latex. Du kannst mit dem Zitat-Button auch den Code kopieren.

11.12.2013, 16:31

RavenOnJ

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist
Matrixmultiplikation: sei $\begin{eqnarray*} A\cdot B = C \end{eqnarray*}$ . Die Komponente $\begin{eqnarray*} c_{mn} \end{eqnarray*}$ der Matrix $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist dann

$\begin{eqnarray*} c_{mn} = \sum\limits_{k=1}^n a_{mk}b_{kn} \end{eqnarray*}$

Addition komponentenweise, bei skalarer Multiplikation wird jede Komponente der Matrix mit dem Skalar multipliziert. Daraus kannst du den Rest aufbauen.

11.12.2013, 17:05

HansiRaffNix.

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist
ich bekomme für $\begin{eqnarray*} ( A+B) \cdot C \end{eqnarray*}$ nicht das selbe wie für $\begin{eqnarray*} A\cdot C+ B\cdot C \end{eqnarray*}$ raus. Irgendwas läuft da schief..

11.12.2013, 17:56

RavenOnJ

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist
$\begin{align*} ((A+B)\cdot C)_{im} &= \sum\limits_{k=1}^n (a_{ik}+b_{ik})c_{km} <br /> &= \sum\limits_{k=1}^n (a_{ik}c_{km}+b_{ik}c_{km}) <br /> &= \sum\limits_{k=1}^n a_{ik}c_{km}+\sum\limits_{k=1}^n b_{ik}c_{km} <br /> &= (A\cdot C)_{im}+ (B\cdot C)_{im} \end{align*}$

11.12.2013, 18:58

HansiRaffNix.

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist
vielen dank smile

smile

, ich habe die 3 axiome jetzt bewiesen, wie muss ich das mit dem Einselement und der Identität machen?

11.12.2013, 22:12

RavenOnJ

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RE: Beweisen, dass End K (V) eine K-Algebra mit weiteren Bedingungen ist

Zitat:

Original von HansiRaffNix.
wie muss ich das mit dem Einselement und der Identität machen?

Zeigen, dass der Endomorphismus der die Identität darstellt (welcher ist das?) Einselement in der Algebra bzw. im Endomorphismenring ist.

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