Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum

12.12.2013, 08:50

MMchen60

Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum

Wir können $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ als Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ auffassen. Dieser hat die Basis $\begin{eqnarray*} B: 1,i \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ betrachten wir die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha_w: \mathbb C-> \mathbb C: z->zw \end{eqnarray*}$ .
a) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} _B(\alpha_{1+3i})_B \end{eqnarray*}$ .
b) Finden Sie für jedes $\begin{eqnarray*} w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} u \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (_B(\alpha_{w})_B)^2=_B(\alpha_{u})_B \end{eqnarray*}$ .
c) Finden Sie alle $\begin{eqnarray*} w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (_B(\alpha_{w})_B)^3=-2E_2 \end{eqnarray*}$ .
d) Beschreiben Sie die Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha_i \end{eqnarray*}$ in der Zahlenebene geometrisch. Liegt eine Spiegelung vor.

Also, was ich hier (vielleicht) schon mal richtig verstehe, ist, dass die Basis aus zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ besteht.
Jetzt wird meine Vorstellung schon etwas konfuser. Bedeutet die Abbildungsvorschrift $\begin{eqnarray*} \alpha_w: \mathbb C-> \mathbb C: z->zw \end{eqnarray*}$ dass jeder Vektor $\begin{eqnarray*} \alpha_w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ durch die Vorschrift $\begin{eqnarray*} \mathbb C: z->zw \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ abgebildet wird? Ist $\begin{eqnarray*} \alpha_w \end{eqnarray*}$ eventuell nur ein Bildpunkt? Was soll nun $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ sein? Ein Skalar oder ein weiterer Vektor und es soll $\begin{eqnarray*} z\cdot w \end{eqnarray*}$ gebildet werden? Falls Skalar, ist $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?
Was bedeuten die tiefgestellten $\begin{eqnarray*} _B \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} _B(\alpha_{w})_B \end{eqnarray*}$ ?
Ich denke, ich muss erst einmal die Notation verstehen, bevor ich mich an die Lösungen heran wage. Vielen Dank im Voraus.

12.12.2013, 09:03

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum
Eigentlich steht alles in dieser Zeile:

Zitat:

Original von MMchen60
Für $\begin{eqnarray*} w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ betrachten wir die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha_w: \mathbb C-> \mathbb C: z->zw \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \alpha_w \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung, mithin also kein Element von C. Allerdings bildet $\begin{eqnarray*} \alpha_w \end{eqnarray*}$ Elemente von C wiederum auf C ab, sprich: ein Element z von C wird auf $\begin{eqnarray*} \alpha_w(z) \end{eqnarray*}$ abgebildet, was wiederum ein Element von C ist. Da $\begin{eqnarray*} \alpha_w \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung ist, kann man dazu die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} _B(\alpha_w)_B \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Soweit klar?

12.12.2013, 11:13

MMchen60

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Ja, soweit schon mal.
Wäre damit $\begin{eqnarray*} z=\lambda_1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} _B(\alpha_{1+3i})_B=1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 3i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?
Denke mal nein, denn das wäre ja zu einfach verwirrt

12.12.2013, 11:18

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum
Na ja, was heißt "einfach"? Du machst es dir zu kompliziert. smile

Laß als erstes mal die Komponentenschreibweise von Vektoren an der Seite. Die Vektoren sind hier einfach nur komplexe Zahlen. Die Basisvektoren lauten 1 und i. Und jetzt bestimme mal die Bilder dieser Basisvektoren.

12.12.2013, 11:31

MMchen60

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-1 und -i?

12.12.2013, 12:11

klarsoweit

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Nein. Was muß man denn laut Abbildungsvorschrift machen?

17.12.2013, 13:03

MMchen60

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Es muss gelten
$\begin{eqnarray*} \alpha(u+\lambda \cdot v)=\alpha(u)+\alpha(\lambda v)=\alpha(u)+\lambda \cdot \alpha( v) \end{eqnarray*}$
Linke Seite:
$\begin{eqnarray*} \alpha(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix} )= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha(\begin{pmatrix} 1+0 \\ 0+\lambda \cdot i \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Rechte Seite:
$\begin{eqnarray*} \alpha(u)+\lambda \cdot \alpha( v)=\alpha(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix})+\lambda \cdot \alpha(\begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Somit $\begin{eqnarray*} _B(\alpha_{1+3i})_B=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+3 \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?
Bin mir jedoch nicht sicher, denn wenn ich das über die Matrixschreibweise mache muss ich doch bilden:
$\begin{eqnarray*} _B(\alpha_{1+3i})_B=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 +3i\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

18.12.2013, 10:47

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum
Anscheinend liest du meine Beiträge nicht. Nochmal klar und deutlich: in dieser Aufgabe gibt es keine 2-komponentigen Vektoren. Es gibt hier "nur" den Vektorraum C mit den "Basisvektoren" 1 und i. Diesen Teil deines 1. Beitrags:

Zitat:

Original von MMchen60
Also, was ich hier (vielleicht) schon mal richtig verstehe, ist, dass die Basis aus zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ besteht.

hast du (neben dem einen oder anderen) schon falsch verstanden. Was du jetzt als erstes tun mußt, ist lediglich die Bilder $\begin{eqnarray*} \alpha_{1+3i}(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha_{1+3i}(i) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

02.01.2014, 08:54

MMchen60

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Hallo, zunächst mal allen Moderatoren hier ein glückliches und erfolgreiches 2014 und vielen Dank für die oftmals aufgebrachte Geduld.
@klarsoweit
Habe das Thema über die Feiertage etwas schleifen lassen, ist auch mal ganz schön. Ich habe hier wohl ein Unverständnis, auch was wohl mit der Nomenklatur zusammen hängt.
Ich soll also einmal $\begin{eqnarray*} (1) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (i) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (1 + 3i) \end{eqnarray*}$ abbilden? Das ist doch dann jeweils $\begin{eqnarray*} (1+3i) \end{eqnarray*}$ .
Falls das wiederum falsch gedacht ist, wäre ich dir sehr dankbar - auch wenn es den Regeln dieses Forums widerspricht - mir einmal die Lösung zu posten, dann verstehe ich es eventuell schneller, vor allen Dingen auch, wie die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} _B(\alpha_{1+3i})_B \end{eqnarray*}$ auszusehen hat.

02.01.2014, 09:16

klarsoweit

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RE: Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum
Hallo und ebenfalls ein guten neues Jahr. Prost

Das Geheimnis dieser Aufgabe liegt in diesem Satz:

Zitat:

Original von MMchen60
Für $\begin{eqnarray*} w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ betrachten wir die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha_w: \mathbb C-> \mathbb C: z->zw \end{eqnarray*}$ .

Ist w = 1+3i, so wird in der Tat die 1 auf 1 * w = 1+3i abgebildet. Und jetzt die Preisfrage: auf was wird das i abgebildet?

02.01.2014, 13:57

MMchen60

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$\begin{eqnarray*} i*(1+3i)=i-3 \end{eqnarray*}$
Aber versteht man damit auch die "Abbildungsmatrix" $\begin{eqnarray*} _B(\alpha_w)_B \end{eqnarray*}$ oder hat die wiederum eine eigene Notation, den in Aufgabenteil b) soll ich ja jetzt ein $\begin{eqnarray*} (_B(\alpha_w)_B)^2 \end{eqnarray*}$ bilden.

02.01.2014, 14:05

klarsoweit

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Für die "Abbildungsmatrix" $\begin{eqnarray*} _B(\alpha_w)_B \end{eqnarray*}$ trägst du die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren bezüglich der Basis B als Spalten in eine Matrix ein.

Nun ist das Bild des 1. Basisvektors von B = 1 + 3i . Also brauchst du nun den Koordinatenvektor von 1 +3i bezüglich der Basis B.

03.01.2014, 13:22

MMchen60

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Das wäre also für 1. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 3i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} (_B(\alpha_w)_B)^2= \begin{pmatrix} 1 \\ 3i \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 3i \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1+3i \\ 3i -9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

03.01.2014, 13:41

klarsoweit

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Du brauchst erstmal die komplette Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} _B(\alpha_w)_B \end{eqnarray*}$ . Die Matrix ist eine 2x2-Matrix. Wie du die 1. Spalte dieser Matrix erhältst, habe ich in meinem letzten Beitrag beschrieben.

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