Dirichlet-Funktion

12.12.2013, 23:30

kadoy

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Dirichlet-Funktion

Die Dirichlet Funktion lautet ja f(x) = | 1 , wenn x rational
| 0 , wenn x irrational

nun hab ich eine allgemeine definition der stetigkeit gefunden die ich gerne darauf anwenden möchte

def: lim f(x) = lim f(x) = f(x0)
x gegen x0 x gegen x0
x < x0 x > x0

meine idee

lim f(x) = 1 != 0 = lim f(x)
x gegen unedlich x gegen unendlich
x elemnt Q x element R\Q

x gegen unedlich da es, denke ich, kein wirklichen grenzwert gibt und somit läuft man ja auch nich von x größer / kleiner x0 los
bin mir sehr unsicher was das thema angeht.. unglücklich

unglücklich

ok die form sieht sehr unübersichtlich aus da hier wohl keine leerzeichen mitgenommen werden

13.12.2013, 17:26

kadoy

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Die Dirichlet Funktion lautet ja f(x) = | 1 , wenn x rational
-----------------------------------------| 0 , wenn x irrational

nun hab ich eine allgemeine definition der stetigkeit gefunden die ich gerne darauf anwenden möchte

def: ---- lim f(x)---- = ---- lim f(x) = --------- f(x0)
------------x gegen x0----------- x gegen x0
------------x < x0 -------------- x > x0

meine idee

lim f(x) ------ = --- 1 ----- != ----- 0 = ------ lim f(x)
x gegen unedlich ---------------------------- x gegen unendlich
x elemnt Q ------------------------------------- x element R\Q

x gegen unedlich da es, denke ich, kein wirklichen grenzwert gibt und somit läuft man ja auch nich von x größer / kleiner x0 los

habs mal etwas umgeändert in der hoffnung dass mir jemand antwortet Big Laugh

Big Laugh

13.12.2013, 18:04

ollie3

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hallo,
hier läuft ja einiges schief. Zunächst mal solltest du dich mit dem latex-code
beschäftigen, klick mal den formeleditor an, da siehst du, wie man das mit
dem limes richtig schreibt.
Und inhaltlich ist die sache auch völlig falsch. Du sollst nicht den grenzwert von
f für x gegen unendlich bestimmen, (den gibt es nämlich garnicht Big Laugh

Big Laugh

) sondern
die definition für stetigkeit anwenden und so zeigen, das f nirgendwo stetig
sein kann. Alles weitere später...
gruss ollie3

13.12.2013, 18:05

Che Netzer

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Wir haben hier einen Formeleditor, mit dem du das ganze viel schöner schreiben kannst.

Zitat:

Original von kadoy
nun hab ich eine allgemeine definition der stetigkeit gefunden die ich gerne darauf anwenden möchte

def: ---- lim f(x)---- = ---- lim f(x) = --------- f(x0)
------------x gegen x0----------- x gegen x0
------------x < x0 -------------- x > x0

Also
$\begin{eqnarray*} \lim_{\substack{x\to x_0\\x<x_0}}f(x)=\lim_{\substack{x\to x_0\\x>x_0}}f(x)=f(x_0)\,. \end{eqnarray*}$
Das ist aber keine Definition von irgendetwas, sondern nur eine Gleichung, in der nicht einmal verraten wird, was $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ sind.
Wie lautet die tatsächliche, vollständige Definition?

14.12.2013, 18:29

kadoy

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$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
ich versteh nichtmal diesen formeleditor
keine ahnung was ich vor und hinter die formel schreiben muss

ok habs herasugefunden Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to b}_{a \to b} x \end{eqnarray*}$
hm wie hast du das x < x0 hinbekommen?

14.12.2013, 19:07

kadoy

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hier einmal die genaue definition Big Laugh

Big Laugh

Sei f : vom $\begin{eqnarray*} D_{f} in den W_{f} \end{eqnarray*}$ eine Funktion und $\begin{eqnarray*} x_{0} \in D_{f} \end{eqnarray*}$

Definition (Stetigkeit)

Die funktion f heißt in $\begin{eqnarray*} x_{0} \in D_{f} \end{eqnarray*}$ stetig, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0}} f(x)= f(x) \end{eqnarray*}$

und das ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_{0}} f(x)= f(x_{0})= \lim_{x \to x_{0}} f(x) \end{eqnarray*}$

beim letzten teil fehlt noch $\begin{eqnarray*} x < x_{0} und x > x_{0} \end{eqnarray*}$ unter dem ersten und 2. limes, wie oben, aber weiß nich wie ich das hinbekomme

gut dann müsste mein $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ schonmal 1 oder 0 sein

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14.12.2013, 21:03

Che Netzer

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Zitat:

Original von kadoy
gut dann müsste mein $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ schonmal 1 oder 0 sein

Wieso?
Schreib zunächst einmal, was du überhaupt vorhast.

15.12.2013, 18:17

kadoy

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ich möchte mit der obigen definition zeigen dass die funktion unstetig ist
und der $\begin{eqnarray*} D_{f} \end{eqnarray*}$ liegt ja im intervall [0,1]

15.12.2013, 18:39

Che Netzer

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Zitat:

Original von kadoy
und der $\begin{eqnarray*} D_{f} \end{eqnarray*}$ liegt ja im intervall [0,1]

Okay, bisher wurde der aber nie angegeben. Du möchtest $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ also auf $\begin{eqnarray*} D_f:=[0,1] \end{eqnarray*}$ definieren?

16.12.2013, 16:20

kadoy

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oh ich dachte die Dirichlet Funktion sei so und nur so, definiert;

Wir betrachten die Dirichlet-Funktion f : [0,1] nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , die durch f(x) = 1 : x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und 0 : x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ohne \mathbb Q \end{eqnarray*}$

gegeben ist.Zeigen Sie, dass f in keinem punkt x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [0,1] stetig ist.

16.12.2013, 20:03

Che Netzer

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Jetzt ist sie so definiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Teilweise ist sie Eins auf den irrationalen Zahlen oder auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert.

Naja, jetzt hast du schonmal eine genaue Definition und eine genaue Aufgabenstellung.
Hattet ihr schon das Folgenkriterium für Stetigkeit?

16.12.2013, 20:29

kadoy

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hm ja aber in wie fern hilft mir das?
die aufgabe hab ich eigentlich schon bearbeitet mit dem epsilon delta kriterium aber ich wollte sie halt mit der oben stehenden definition von stetigkeit lösen
nur komm ich da wohl nich so ganz hinter

16.12.2013, 20:31

Che Netzer

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Na gut, dann über die Definition.

Dann nehmen wir uns mal ein $\begin{eqnarray*} x_0\in[0,1) \end{eqnarray*}$ .
Existiert dann $\begin{eqnarray*} \lim_{\substack{x\to x_0\\x>x_0}}f(x) \end{eqnarray*}$ überhaupt? Bzw. wie wäre dieser Grenzwert definiert?

17.12.2013, 18:42

kadoy

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hm wenn ich zb $\begin{eqnarray*} x_{o} =1/2 \end{eqnarray*}$ nehmen würde
springt die funktion von unendlich bis 1/2 bei jeder irrationalen zahl zur 0 und jeder rationalen zur 1 und bei $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ wäre sie dann bei 1

17.12.2013, 18:58

Che Netzer

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Ja, aber was hat das mit dem Grenzwert zu tun?

Und woher nimmst du Unendlich?

17.12.2013, 19:30

kadoy

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na ja der grenzwert ist ja $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ und die funktion wird ja in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abgebildet läuft also einmal von links und rechts des grenzwertes los bis sie auf $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ trifft

17.12.2013, 21:33

Che Netzer

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Zitat:

Original von kadoy
na ja der grenzwert ist ja $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{\substack{x\to x_0\\x>x_0}}f(x) \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ (er existiert überhaupt nicht)

Zitat:

und die funktion wird ja in ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abgebildet

Hier wird nirgends eine Funktion abgebildet. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bildet von $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ab, ist aber nicht surjektiv.

17.12.2013, 22:00

kadoy

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ok der wert der angenommen werden soll ist halt $\begin{eqnarray*} f(x_{0}) \end{eqnarray*}$
die funktion läuft halt mehr oder weniger durch 0 und durch 1 von - bis + unendlich

17.12.2013, 22:16

Che Netzer

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Zitat:

Original von kadoy
von - bis + unendlich

Was soll das bedeuten?

18.12.2013, 18:10

kadoy

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das ist die x-achse

18.12.2013, 19:07

Che Netzer

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Mit dem Satz

Zitat:

Original von kadoy
die funktion läuft halt mehr oder weniger durch 0 und durch 1 von - bis + unendlich

möchtest du "das ist die x-achse" aussagen?

Formulier das nochmal sorgfältiger und beachte, dass die Funktion nur auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ definiert ist.

18.12.2013, 21:24

kadoy

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die funktion nimmt nur die werte 0 und 1 an, bei jedem x welches man in sie rein steckt
wenn das x irrational 0, wenn rational 1
das gilt für jedes x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

18.12.2013, 21:28

Che Netzer

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Zitat:

Original von kadoy
das gilt für jedes x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Nein! Z.B. nicht für $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ .

19.12.2013, 21:57

kadoy

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irgendwie kapier ich langsam gar nichts mehr Big Laugh

Big Laugh

2 ist doch ne rationale zahl und die funktion ist doch so definiert dass sie den wert 1 ausspuckt wenn eine rationale zahl eingesetzt wird

19.12.2013, 21:59

Che Netzer

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Nein. Sieh dir den Definitionsbereich an.

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