fast sichere Konvergenz

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13.12.2013, 17:50

Nipiatu

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fast sichere Konvergenz

Hallo Zusammen Wink

,

ich stehe vor einem Problem und beweisen gehört nicht zu meine Stärken... unglücklich

Hier das Problem:

Gegeben ist eine Folge von nicht unbedingt unabhängigen Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} (x_{n})_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ bei der für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty P\left\{|X_{n}|>\epsilon\right\}<\infty \end{eqnarray*}$

beweise, dass $\begin{eqnarray*} X_{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ fast sicher gegen Null konvergiert.

Ich habe keine Ahnung wie ich das anstellen soll... traurig

Was heißt "eine Folge von nicht unbedingt unabhängigen ZV"?

Ich danke euch jetzt schon vielmals...

13.12.2013, 18:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Nipiatu
Was heißt "eine Folge von nicht unbedingt unabhängigen ZV"?

Das ist eine redselige Variante von "eine Folge von ZV". Augenzwinkern

Es soll nur nochmal besonders betont werden, dass du im Beweis nicht mit der Unabhängigkeit dieser ZV argumentieren darfst.

15.12.2013, 15:17

Nipiatu

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Danke...

wie kann ich hier vorgehen? Ich habe etwas recherchiert und folgendes herausgefunden

$\begin{eqnarray*} X_n \to X \end{eqnarray*}$ fast sicher ist äquivalent zu:

Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gilt, dass

$\begin{eqnarray*} P( sup_{m \geq n} | X_m - X | \geq \epsilon ) \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ .

Ist dieser Ansatz korrekt? Wie kann ich weiter machen?

Danke vielmals

27.12.2013, 16:07

Nipiatu

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niemand eine Idee unglücklich

30.12.2013, 15:41

Nipiatu

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Ich habe diesen Tipp gefunden:

Wenn Xn(É) nicht gegen 0 konvergiert, so gibt es eine natürliche Zahl M, sodass |Xn| > 1/M für unendlich viele n gilt.

Aber wie kann ich das nun hier einbringen? Hat jemand eine Idee?

30.12.2013, 15:46

Nipiatu

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Zitat:

Original von Nipiatu
Ich habe diesen Tipp gefunden:

Wenn Xn(É) nicht gegen 0 konvergiert, so gibt es eine natürliche Zahl M, sodass |Xn| > 1/M für unendlich viele n gilt.

Aber wie kann ich das nun hier einbringen? Hat jemand eine Idee?

Sorry war etwas undeutlich geschrieben, hier noch einmal der Tipp:

Wenn $\begin{eqnarray*} X_{n}\left(\omega \right) \end{eqnarray*}$ nicht gegen 0 konvergiert, so gibt es eine natürliche Zahl M, sodass $\begin{eqnarray*} |X_{n}| > \frac{1}{M} \end{eqnarray*}$ für unendlich viele n gilt.

02.01.2014, 21:38

Nipiatuverzweifelt

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Ist das in Vergessenheit geraten? Oder kann mir niemanden helfen? Ich verstehe diese Aufgabe nicht unglücklich

Ich habe einiges versucht, ich verstehe es einfach nicht.

Sollte jemand es beweisen können, kann er mir bitte erklären wie er das gemacht hat?

Ich danke euch...

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