Chebyschew-Ungleichung

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Naharia Auf diesen Beitrag antworten »
Chebyschew-Ungleichung
Zeige, dass die Chebyschew-Ungleichung ohne zusätzliche Annahmen nicht weiter verbessert werden kann:

Für jedes positive finde man eine Zufallsvariable X, so dass gilt:



Ich weiß nicht wo ich beginnen soll...

Bin für jede Hilfe sehr dankbar...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte einfach die symmetrische Zweipunktverteilung auf , d.h. mit

.
Naharia Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir.

Aber wie zeige ich ass die Chebyschew-Ungleichung ohne zusätzliche Annahmen nicht weiter verbessert werden kann.

traurig traurig
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Naharia
Aber wie zeige ich ass die Chebyschew-Ungleichung ohne zusätzliche Annahmen nicht weiter verbessert werden kann.
Ein Gegenbeispiel ist doch schon eine ausreichende Begründung dafür. In diesem Fall gilt Gleichheit, also kann die Abschätzung offenbar nicht weiter verbessert werden.
Naharia Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Betrachte einfach die symmetrische Zweipunktverteilung auf , d.h. mit

.


Die Wahrscheinlichkeit in diesem Beispiel ist 1. Kann mir jemanden sagen wie sie berechnet wird?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Naharia
Zitat:
Betrachte einfach die symmetrische Zweipunktverteilung auf , d.h. mit

.


Die Wahrscheinlichkeit in diesem Beispiel ist 1. Kann mir jemanden sagen wie sie berechnet wird?
Die Aussage "Die Wahrscheinlichkeit in diesem Beispiel ist 1."verstehe ich nicht, die Wahrscheinlichkeit wovon? verwirrt
Du hast die Ereignismenge und darauf die symmetrische Zweipunktverteilung (Gleichverteilung). Insofern ist, nach Definition der Gleicherteilung, .
 
 
Naharia Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das schlicht nicht. verwirrt

Zitat:
.


Heißt das, dass die Wahrscheinlichkeit, dass X= alpha oder - alpha ist 1/2 beträgt?

Dann müsste ich jetzt die Varianz Berechnen um meine Ausgangsaufgabe zu beweisen oder? Nämlich:


Zitat:
Zeige, dass die Chebyschew-Ungleichung ohne zusätzliche Annahmen nicht weiter verbessert werden kann:

Für jedes positive finde man eine Zufallsvariable X, so dass gilt:





Wie berechne ich daraus die Varianz? Der Versuch hier ist Blödsinn, aber ich weiß nun mal leider nicht wie ich das anstellen soll:

X~? (n, p=alpha=1/2)

E(X)= 1/2 n (p*n)
V(x)= 1/4 n (p^2*n)



Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das heißt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass X = alpha beträgt, genauso hoch ist, wie die Wahrscheinlichkeit, dass X = -alpha ist, nämlich 1/2.

Bei deiner Formulierung müsse die Wahrscheinlichkeit gerade 1 betragen.

Du hast


Berechne nun noch E[X^2] und dann die Varianz, welche gegeben ist durch V(X) = E[X^2] - E[X]^2.
Naharia Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bei deiner Formulierung müsse die Wahrscheinlichkeit gerade 1 betragen.


Es tut mir sehr leid, aber kannst du mir bitte erklären was genau du damit meinst?

Also ich habe jetzt folgendes ausgerechnet

E(X)= 0
V(X)= \alpha^2[/latex]

...

Kann ich das jetzt einfach einsetzen in der Ausgangsformulierung?

Zitat:
Zeige, dass die Chebyschew-Ungleichung ohne zusätzliche Annahmen nicht weiter verbessert werden kann:

Für jedes positive finde man eine Zufallsvariable X, so dass gilt:



also so:



und deswegen ist es gleich 1? weil



????verwirrt verwirrt
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Zu deiner ersten Frage: Mathematisch gesehen hast du die Wahrscheinlichkeit


beschrieben. Man darf hier die Wahrscheinlichkeit in zwei einzelne auftrennen und anschließend addieren, weil die Mengen und disjunkt sind. Das nur als Randbemerkung, es ist aber nicht wesentlich für das Lösen deiner Aufgabe.

Also:

Wie kommst du denn auf ?

Wie hast du denn berechnet?

Da sollte etwas anderes herauskommen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alaster
Wie kommst du denn auf ?

Wie hast du denn berechnet?

Da sollte etwas anderes herauskommen.

"Etwas anderes" als ? verwirrt
Alaster Auf diesen Beitrag antworten »

Oh entschuldigt bitte, es muss natürlich sein:



Ich hatte das Vorzeichen beim -alpha^2 vor der Klammer und nicht in der Klammer, dummer Fehler.

Zum weiteren Vorgehen:

Die rechte Seite der Gleichung kennst du ja jetzt, jetzt musst du noch die linke Seite berechnen.
Naharia Auf diesen Beitrag antworten »

Die WA beträgt eins, da nur positive Werte angenommen werden können.

also wenn ich alles in die Ausgengsgleichung setzte habe ich

1=1

Und da somit Gleichheit bewiesen wäre, ist das hier unten erfüllt:

Zitat:

Zitat:
Original von Naharia
Aber wie zeige ich ass die Chebyschew-Ungleichung ohne zusätzliche Annahmen nicht weiter verbessert werden kann.
Ein Gegenbeispiel ist doch schon eine ausreichende Begründung dafür. In diesem Fall gilt Gleichheit, also kann die Abschätzung offenbar nicht weiter verbessert werden.


oder?

Und wie schreibe ich das jetzt "schön"? verwirrt

Danke Euch vielmals!
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