Beweis (Rechenregel Integrale)

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BlaZe Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis (Rechenregel Integrale)
Meine Frage:
Heyho,

ich soll die folgende Aufgabe lösen:

[attach]32375[/attach]

Leider stehe ich total auf dem Schlauch.


Meine Ideen:
Das einzige, was mir einfallen würde:

1. f(x)*g(x) muss auch integrierbar Verkettung integrierbar sein.
2. Man könnte m und M ins Integralreinziehen und da g(x) ja genau zwischen den 2 Werten liegt stimm es ja somit, aber da wir
es ja mit Zerlegungssummen lösen sollen geht es ja nicht auf diesen Weg, wäre auch ein wenig zu trivial.^^
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis(Rechenregel Integrale)
Fangen wir damit an, dass integrierbar ist - wenn wir das gezeigt haben, wird dir auch klar sein, wie man mit Abschätzungen genau argumentiert. Was heißt es denn laut Definition, dass f und g (Riemann-)integrierbar sind?
BlaZe Auf diesen Beitrag antworten »

f und g sind Riemann integrierbar,
wenn ihre Ober und Untersumme für eine beliebig feine Zerteilung
gegen denselben wert konvergieren.

also O(f,Zn) = U(f,Zn)
und O(g,Zn) = U(g,Zn)

Zn sei die Zerteilung.
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und ganz analog ist ist genau dann integrierbar, wenn...

Vervollständige den Satz und überlege, wie damit aus der Integrierbarkeit von und die Integrierbarkeit von folgt.
BlaZe Auf diesen Beitrag antworten »

ist genau dann integrierbar, wenn
die Obersumme des Produktes aus und die Untersumme von
gegen denselben Wert konvergieren
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Wir setzen voraus, dass die Untersummen und Obersummen von f bzw. g existieren und jeweils gegen denselben Wert konvergieren. Wie zeigen wir damit nun, dass die Ober- und Untersummen von ebvenfalls existieren und gegen denselben Wert konvergieren?
 
 
BlaZe Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm

vllt. indem wir uns die Untersumme ansehen durch
und die Obersumme durch und diese existieren, da es sich bei
m und M ja um konsante werte handelt , wobei m ja gerade kleiner gleich f(x) ist und M gerade größer gleich f(x)
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BlaZe
vllt. indem wir uns die Untersumme ansehen durch

Versteh ich leider nicht... Möglicherweise fehlt dir einfach die Anschauung: Dieses Bild zeigt eine Funktion, für die im Intervall [a,b] eine Zerlegung in 8 Teile gegeben und die orangenen bzw. lila Flächen jeweils so gewählt wurden, dass sie Ober- und Untersummen der Funktion sind.
Die Konvergenz solcher Summen heißt nun, dass man einen eindeutigen Wert herausbekommt, wenn man das Intervall in immer mehr und immer mehr Teile zerteilt und die Flächen aufsummiert. Merke: es gibt natürlich extrem viele Möglichkeiten, das Intervall aufzuteilen - aber IMMER, wenn man die Anzahl der Teile gegen unendlich gehen lässt, kommt derselbe Wert heraus. (Das ist eine ziemlich starke Bedingung, wenn man es sich mal überlegt.)
So, in unserem Beispiel gilt das also für f und g. Jetzt schauen wir uns doch erstmal die Untersummen an: Du kannst solche orangenen Untersummen für f und g finden und immer, wenn du die Anzahl der Einteilungen gegen unendlich gehen lässt, konvergieren die Summen der Flächen gegen denselben Wert. Wie kann man die Untersummen von f und g denn jetzt zu Untersummen von kombinieren?
BlaZe Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung unglücklich
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

OK, einen versuch mach ich noch, ansonsten müsste ich ein Blatt Papier haben und deuten können, um es schön zu erklären.
Lassen wir das ganze mit der Konvergenz mal weg und schauen uns nur eine Untersumme an. Betrachte konkret mal und auf dem Intervall . Zeichne dir beide Funktionen je in ein Koordinatensystem (nicht zu klein, damit man die Untersummen schön zeichnen kann!) und das Produkt in ein drittes. Jetzt teile das Intervall [0,1] mal in 4 gleich lange Intervalle ein (, etc.) und zeichne ganz ähnlich wie im Link, den ich dir geschickt habe, die "orangenen" Blöcke unter die Funktionen f und g.
So, nun hast du auf dem Intervall für f und g jeweils eine konstante Funktion, die unter der jeweiligen Funktion liegt (bei fist dieser konstante Wert 0, bei g ist er 1. Wie kommst du davon jetzt zu einer konstanten Funktion, die im Intervall unter liegt?
BlaZe Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid ich versteh es immer nocht nicht selbst mit zeichnen... traurig
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

OK, nicht verzagen, ich kann das ohne Zeigen nicht sonderlich gut erklären. Ich wollte darauf hinaus, dass man die Funktionen der Unter- (und Ober-)Summe einfach multipliziert und so eine Unter- (und Ober-)Summe für erhält. Dann kan man zeigen, dass die Summen der Flächen der Produkte ebenfalls konvergieren (ist einfach der Satz über Limes eines Produktes von konvergenten Folgen) etc.
@all: Möglicherweise kann das jemand schöner erklären als ich.
BlaZe Auf diesen Beitrag antworten »

vllt. kannst du das aufzeichnen und nen screen hochladen und mir das anhand desses erklären wäre ehct super nett^^
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