Matrizen

15.12.2013, 14:45

melanie17

Matrizen

ist folgende Aussage wahr oder falsch:

für jeden Körper, jeden $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ alle $\begin{eqnarray*} A,B \in M(n,K) \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} \lambda\in K \end{eqnarray*}$ gilt:
ist $\begin{eqnarray*} A^{2}= E \end{eqnarray*}$ , so ist det(A)=1.

ich würde sagen, die Aussage stimmt! denn wenn $\begin{eqnarray*} A^{2}= E \end{eqnarray*}$ , muss A doch auch die Einheitsmatrix sein! oder sehe ich das falsch? und somit wäre nun auch die Determinante von A gleich 1!

Danke im vorraus! smile

15.12.2013, 14:50

Guppi12

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Hallo,

wofür ist $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ da, wofür ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ da?

Zitat:

denn wenn $\begin{eqnarray*} A^{2}= E \end{eqnarray*}$ , muss A doch auch die Einheitsmatrix sein! oder sehe ich das falsch?

Wenn du dir da so sicher bist, dann versuche doch mal, es zu beweisen.

15.12.2013, 15:32

melanie17

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ich würde es so probieren:

sei $\begin{eqnarray*} A \in M(n,K) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^{2}= E \end{eqnarray*}$ .
dann gilt:
$\begin{eqnarray*} det(A^{2}) = det(E)=1= det(A)^{2} =det(A)\cdot det(A) \end{eqnarray*}$

hieraus würde nun folgen, dass det(A) entweder 1 oder -1 sein kann.
und somit wäre die aussage dann doch falsch verwirrt

Wie siehst du das?

15.12.2013, 15:38

Guppi12

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Die Aussage ist falsch, das ist richtig. Allerdings musst du noch ein konkretes Gegenbeispiel angeben.
Da fällt dir sicher was ein.

15.12.2013, 15:46

melanie17

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okee..
fürs Gegenbeispiel wären bestimmt Zahlen aus dem komplexen Bereich sinnvoll!

wie zB die Matrix: A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

det(A^{2})=1 aber det(A)= -1

15.12.2013, 15:48

Guppi12

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Ja, das ist ein Gegenbeispiel. Alternativ könnte man auch $\begin{eqnarray*} A = (-1) \end{eqnarray*}$ nehmen.

15.12.2013, 15:49

melanie17

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ja das wäre noch einfacher !!
vielen lieben dank smile

15.12.2013, 15:55

Guppi12

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Wenn du Bonuspunkte sammeln willst, kannst du noch dazu sagen, dass die Aussage genau dann richtig ist, wenn $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, in dem $\begin{eqnarray*} 1+1 = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

15.12.2013, 15:58

DerJFK

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Zitat:

okee..
fürs Gegenbeispiel wären bestimmt Zahlen aus dem komplexen Bereich sinnvoll!

wie zB die Matrix: A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kurzer Einwurf: das wäre kein Gegenbeispiel. Denn $\begin{eqnarray*} A^2 \not= I \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^2 = - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = - I \end{eqnarray*}$

15.12.2013, 16:00

Guppi12

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stimmt, habe ich übersehen. Dankeschön JFK!

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