Wie weise ich die Definitheit nach?

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15.12.2013, 18:45	1587	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie weise ich die Definitheit nach? Meine Frage: Ich habe Abbildungen mit $\begin{eqnarray} \|\| ... \|\|:\mathbb R^{3} -> \mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x -> \|\|x\|\| \end{eqnarray}$ gegeben und muss überprüfen, ob die Definitheit gegeben ist, oder nicht: a) $\begin{eqnarray} \|\|x\|\| = (x_1^2 + x_2^2)^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \|\|x\|\| = \|x_1 + x_2\|+\|x_3\| \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die Definitheit ist gegeben, wenn gilt $\begin{eqnarray} \|\|v\|\| = 0 <=> v=0 \end{eqnarray}$ zu a) $\begin{eqnarray} \|\|x\|\| = 0 = (0^2+0^2)^{0,5}; x =0 = (0,0,x_3) \end{eqnarray}$ nicht gegeben zu b) $\begin{eqnarray} \|\|x\|\| = 0 = \|0+0\|+\|0\|; x = 0 = (0,0,0) \end{eqnarray}$ gegeben
15.12.2013, 18:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Äquivalenz zweier Aussagen zu beweisen, musst du immer 2 Richtungen beweisen. $\begin{eqnarray} x=0 \Rightarrow \|\|x\|\|=0 \end{eqnarray}$ ist sehr leicht. $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|=0\Rightarrow x=0 \end{eqnarray}$ ist nicht viel schwieriger zu beweisen oder zu widerlegen.
15.12.2013, 18:53	1587	Auf diesen Beitrag antworten »
d.h. das, was ich da gemacht habe, ist falsch?
15.12.2013, 18:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, unklar und falsch. vermutlich deswegen falsch, weil dir nicht klar war, was du beweisen musst.
15.12.2013, 18:58	1587	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, ich dachte, ich hätte das verstanden, könntest Du mir das bitte erklären?
15.12.2013, 19:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du mir bitte erst erklären, warum du aus $\begin{eqnarray} (...)^{\frac 1 2} (...)^{0.5} \end{eqnarray}$ machst ? Du weißt bestimmt, was $\begin{eqnarray} (...)^{\frac 1 2} \end{eqnarray}$ bedeutet, und es würde dir beim Beweis von a) wesentlich helfen.
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15.12.2013, 19:05	1587	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin leicht verwirrt, weil 0.5 = 1/2, es ist doch irrelevant, wie ich das schreibe?
15.12.2013, 19:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, völlig irrelevant. Und was ist es ? Du hast keine wirklichen Probleme mit der Aufgabe. Du hast vielleicht Probleme mit Schreibweisen, mit dem Verständnis der Definition, mit dem Beweis. Deshalb möchte ich erst mit Dir zusammen die Voraussetzungen schaffen, das problemchen zu lösen.
15.12.2013, 19:32	1587	Auf diesen Beitrag antworten »
was ist es? ich weiß gerade leider nicht, worauf Du jetzt hinaus willst....
15.12.2013, 19:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"Wurzel", nächste Fragen: Was für eine Wurzel ? Wieviele davon gibt es ? Welche ist es ?
15.12.2013, 19:51	1587	Auf diesen Beitrag antworten »
eine "normale" quadratische wurzel, oder?
15.12.2013, 19:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
welche von wie vielen ? Tut mir leid, das dauert zu lange ... keine Zeit mehr. Denke bitte daran, dass du je zwei Beweisrichtungen betrachten musst. UND denke bei a) über wurzeln und bei b) über Beträge nach.
16.12.2013, 18:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, da bin ich wieder. Da du nun genug Zeit zum Nachdenken hattest, kommen hier ein paar Hinweise für den unwahrscheinlichen Fall, dass du die Aufgabe immer noch nicht gelöst hast. Bei a) und b) ist die eine Richtung einfach. $\begin{eqnarray} x=0\Rightarrow \|\|x\|\|=0 \end{eqnarray}$ a) $\begin{eqnarray} x=(0,0,0)\Rightarrow \sqrt0=0 \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \sqrt{\alpha} \end{eqnarray}$ ist die nichtnegative Quadratwurzel der nichtnegativen rellen Zahl $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ oder eine der beiden rein imaginären Quadratwurzeln der negativen reellen Zahl $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . Der letzte Fall tritt hier nicht auf, weil Quadrate und Summen von Quadraten immer nichtnegativ sind. b) $\begin{eqnarray} x=(0,0,0)\Rightarrow \|0\|+\|0\|=0 \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \|\alpha\| \end{eqnarray}$ ist der nichtnegative Absolutbetrag der rellen Zahl $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . Nun zur anderen Richtung des Äquivalenzbeweises. Bei a) hast du schon angedeutet, dass etwas nicht stimmt, wenn du $\begin{eqnarray} x=(0,0,x_3) \end{eqnarray}$ betrachtest. In der Tat gilt z.B. $\begin{eqnarray} x=(0,0,1)\Rightarrow \|\|x\|\|=\sqrt 0=0 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2} \end{eqnarray}$ nicht definit. Bei b) liegst du voll daneben, denn es ist $\begin{eqnarray} \|\|(a,-a,0)\|\|=\|a-a\|+\|0\|=0 \end{eqnarray}$ für jede reelle Zahl a. Also ist auch $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|=\|x_1+x_2\|+\|x_3\| \end{eqnarray}$ nicht definit. Du siehst, man muss sich mit den genauen Definitionen von "Wurzel" und "Betrag" auseinandersetzen und wissen, wie man einen Beweis führen muss, wenn behauptet wird, Aussagen seien äquivalent. Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit.
16.12.2013, 21:26	1587	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das habe ich jetzt auch rausbekommen ich hoffe du hast nichts dagegen, wenn ich doch bei noch zwei andere Aufgaben um Rat bitte? und zwar c) $\begin{eqnarray} \|\|x\|\| = (\|x_1\| + \|x_2\|^2 +\|x_3\|^3)^{\frac{1}{6} } \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} \|\|x\|\| = \|x_1\| + 2\|x_2\| + 3\|x_3\| \end{eqnarray}$ bei beiden habe ich festgestellt, dass die Definitheit nicht gegeben ist denn die erste Richtung trifft auch hier zu, da Null für \|\|x\|\| rauskommt, wenn ich den Nullvektor einsetze die zweite Richtung funktioniert nicht, da durch die Betragsstriche alles positiv wird, und keine zwei Zahlen zusammen in von Betragsstrichen zusammengefasst wird, wie in b
17.12.2013, 18:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst du viel konkreter machen, indem du jeweils ein Gegenbeispiel für c) und d) angibst, wo der Vektor von (0,0,0) verschieden ist und die Norm trotzdem gleich 0 ist. Du musst das sogar tun, denn es hilft gar nichts, nur um den heißen Brei herum zu reden. Bei a) und b) habe ich dir gezeigt, wie man so etwas macht, mach's bitte nach. Wenn es kein Gegenbeispiel gibt, musst du nicht nur behaupten sondern beweisen, dass die Normen definit sind.

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