Kern der Matrix

15.12.2013, 22:04

Hellsing91

Kern der Matrix

Okay, ich verzweifel grade irgendwie an folgender Aufgabe:

Aufgabe:

Sei A eine $\begin{eqnarray*} m \times n \end{eqnarray*}$ Matrix mit Einträgen aus einem Körper K.

a) Für

$\begin{eqnarray*} u=(u_1,...,u_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=(v_1,...,v_n)\in K^n \end{eqnarray*}$

definieren wir

$\begin{eqnarray*} u\cdot v:= u_1v_1+u_2v_2+...+u_nv_n\in K \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass

$\begin{eqnarray*} Ker A=\left\{u\in K^n: u\cdot v=0 \forall v\in ZR(A)\right\} \end{eqnarray*}$

Mir fällt grade nichts richtig zu der Aufgabe ein, es kann aber auch sein das ich grade ein richtiges Brett vorm Kopf habe.

Ich könnte einen kleinen tipp gebrauchen, wie ich anfangen kann mir fällt nämlich leider nichts ein verwirrt

mfg. Hellsing

15.12.2013, 22:47

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RE: Kern der Matrix
Wie berechnet man händisch ein Produkt Ax?
Edit: Ich denke lax formuliert an "Zeile von A mal Spaltenvektor x"

15.12.2013, 22:51

Hellsing91

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Zeile mal spalte, und der Vektor u muss dann orthogonal zum vektor v sein, wenn das skalarprodukt 0 ergibt.

Aber ich weiss ja noch nicht so ganz, was meine v mit der Matrix zu tun haben.

Es gilt $\begin{eqnarray*} v\in ZR(A) \end{eqnarray*}$ , also ist v eine linearkombination der Zeile.
Aber ich muss ja noch zeigen, dass das ganze 0 wird.

mh

15.12.2013, 22:59

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nimm an $\begin{eqnarray*} Au=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ ist die erste Zeile von A. Dann ist doch $\begin{eqnarray*} z_1\cdot u =0 \end{eqnarray*}$ (und damit natürlich auch $\begin{eqnarray*} u\cdot z_1 =0 \end{eqnarray*}$ )
Entsprechendes natürlich auch für die anderen Zeilen
Kommst du damit weiter?

15.12.2013, 23:17

Hellsing91

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Ich denke schon, im prinzip hab ich damit ja schon alles was ich brauche.

Wenn $\begin{eqnarray*} Au=0 \end{eqnarray*}$ z1 ist die erste Zeile von A. Dann ist doch $\begin{eqnarray*} z_1\cdot u =0 \end{eqnarray*}$ (und damit natürlich auch $\begin{eqnarray*} u\cdot z_1 =0 \end{eqnarray*}$ ).

Dann gilt das natürlich für alle zeilen

jetz ist aber $\begin{eqnarray*} v\in ZR(A) \end{eqnarray*}$ . Also folgt daraus nach obiger überlegung schon direkt das $\begin{eqnarray*} u\cdot v=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in ZR(A) \end{eqnarray*}$ ist

15.12.2013, 23:31

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Genau.
Wie man $\begin{eqnarray*} \supset \end{eqnarray*}$ zeigt ist klar?

16.12.2013, 22:36

Hellsing91

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Zitat:

Original von URL
Genau.
Wie man $\begin{eqnarray*} \supset \end{eqnarray*}$ zeigt ist klar?

Ehm, das kommt dadrauf an was genau du damit meinst ?

16.12.2013, 22:52

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Du musst doch $\begin{eqnarray*} Ker A=\left\{u\in K^n: u\cdot v=0 \forall v\in ZR(A)\right\} \end{eqnarray*}$ zeigen.
Wir sind bisher von Au=0 ausgegangen, d.h. $\begin{eqnarray*} u\in Ker(A) \end{eqnarray*}$ und haben die Orthogonalität zu ZR(A) gezeigt.
Also von der zu zeigenden Mengengleichheit nur den Teil " $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ "
Was fehlt ist " $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ ". Das meinte ich.
(Der Beweis ist allerdings offensichtlich. und kürzer als das ganze Geschreibsel bis hierher Big Laugh

)

16.12.2013, 23:00

Hellsing91

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Achso

Naja das folgt ja eigentlich direkt aus der Definition des Kerns.

Wenn wir die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{u\in K^n: u\cdot v=0 \forall v\in ZR(A)\right\} \end{eqnarray*}$ haben, dann ist das ja grade der Kern A

16.12.2013, 23:09

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zumindest eine Teilmenge des Kerns und mehr brauchst du ja nicht mehr

16.12.2013, 23:14

Hellsing91

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Jup vielen dank URL für deine Hilfe smile