Lineare Abbildung & Isomorphismus

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Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung & Isomorphismus
Aufgabe
a) Es seien V und W Vektorräume über dem Körper K
Zeigen sie:

ist eine lineare Abbildung.
Anmerkung meinerseits:
ist der Dualraum von V ebenso mit W

ALSO, ich habe mir folgendes überlegt:
1) beliebig natürlich
Damit ist ja automatisch linear
2)
Damit ist ja auch automatisch linear :P

Dann kann ich die Abbildung oben ja erstmal so ausdrücken:

dann kam ich darauf, das mal mit beliebigen Werten zu machen (wie immer). Also:

==> dann habe ich weiter umgeform...
= (da phi linear)
=
------------------------------------------------------------------------
muss ja auf ein w abgebildet werden... nennen wir es w1. Also

und

------------------------------------------------------------------------
Dann heißt es ja (Umformung geht weiter)
=

Und ab hier weiß ich nicht mehr wirklich weiter
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube das war ziemlich blöd, denn ich müsste ja nachweisen, dass ich meinem psi ZWEI ABBILDUNGEN geben kann und es egal ist, ob ich die vor der Abbildung mit psi addiere oder nach der Abbildung mit psi....
von daher ist mein beispiel mit den vektoren aus V bzw. W völliger Humbuk
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung & Isomorphismus
Seien , sowie die dualen Abbildungen gegeben durch . Dann gilt



Es ist also



(skalare Multiplikation kannst du zeigen.)

ist also linear.
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

hm, ok ... ich wollte zwar keine Lösung sondern mir das Schritt für Schritt herleiten, weil dann kann man sich es natürlich besser merken
Jetzt nicht falsch verstehen smile ich bin sehr froh und dankbar, dass mir jemand helfen will smile

Ich versuche das gleich mal nachzuvollziehen und melde mich dann wieder Gott
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »


Ich kann das nicht in meiner Vorlesung finden >.< .... wie kommt man denn darauf:


Ist und
ist ja dann also

Wenn ich die beiden jetzt verkette, komm ich doch zu irgendeinem mist....
weil phi bildet von W auf V ab und dann wird f darauf angewendet und will die Ergebnise von phi auf K abbilden? (Bild(phi) ist doch Unterraum von V .... aber f bildet dann von W !!! ==> K)
Wie darf man sich das jetzt vorstellen?
Ich meine: Ich könnte das jetzt abpinseln und das mit der skalaren Multiplikation analog beweisen. Das wäre ja nur Grundwissen über lineare Abbildungen... Aber ich will es verstehene >.<


EDIT!!!!!
Ich überdenke das eben nochmal....hab gemerkt, dass ich falsch gedacht habe
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe das ganze nochmal in meinem Script nachgeschlagen und überdacht...
Also, was mir gefehlt hatte war die Vorschrift für die duale lineare Abbildung:

um genauer zu sein das hier:

Meine Verwirrung im letzten Post kam daher, dass ich nicht das GANZE bei der dualen lin. Abb. betrachtet habe...
Es bedeuted hier ja nur, dass eine W==>K Abbildung auf eine V==>K Abbildung abgebildet wird, was wir ja mit haben, denn:
phi: V==>W und dann f: W==>K, Also
V=>W=>K ..... V=>K und der Rest ergibt sich ja dann förmlich von selbst.

Wenn ich mal die Aufgabe anschreiben dürfte (ich bin einfach mal so frei und kopiere deines hier hin):
Additivität
Seien , sowie die dualen Abbildungen gegeben durch . Dann gilt



Es ist also



Skalare Multiplikation
Sei , sowie die duale Abbildungen gegeben durch . Dann gilt



Es ist also




Ich hoffe mal, dass das so richtig ist smile Wir haben das in unserer Vorlesung so komisch definiert...Im Prinzip steht da nichts anderes, aber das erkennt man irgendwie erst, wenn man es schon weiß unglücklich Bei uns steht für die Vorschrift:

Natürlich für und
unglücklich
Berndinio Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe b) ist:
Zeigen sie, dass ein Isomorphismus ist.

Wir haben ja schon gezeigt, dass linear ist.
Wenn wir zeigen, dass injektiv ist, müsste doch die surjektivität durch die Linearität folgen, oder?
Nunja bei linearen Abbildungen gilt:

Das bedeuted:
Darüber mache ich mir glaube ich morgen noch Gedanken smile aber erstmal vielen Dank für deine Hilfe smile
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Berndinio
Skalare Multiplikation
Sei , sowie die duale Abbildungen gegeben durch . Dann gilt




Das Rote ist nicht richtig, dass und , was nicht zum Definitionsbereich von gehört.

Man sollte sich klar machen, dass und definierte Abbildungen sind:
Sei . Dann ist definiert als


Sei , dann ist definiert als


Es ist dann .
Andererseits kann man genauso abbilden . Es ist also

In dem Sinne wird abgebildet


Jetzt könnte man noch die Distributivgesetze für die skalare Multiplikation zeigen, also.

und


Zitat:

Wir haben das in unserer Vorlesung so komisch definiert...Im Prinzip steht da nichts anderes, aber das erkennt man irgendwie erst, wenn man es schon weiß unglücklich Bei uns steht für die Vorschrift:

Natürlich für und
unglücklich



Was du hier hast ist das Skalarprodukt zweier Vektoren und die Beziehung zwischen einer Abbildung und der dazugehörigen adjungierten Abbildung. Das ist was ganz anderes.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Berndinio
Aufgabe b) ist:
Zeigen sie, dass ein Isomorphismus ist.

Wir haben ja schon gezeigt, dass linear ist.
Wenn wir zeigen, dass injektiv ist, müsste doch die surjektivität durch die Linearität folgen, oder?
Nunja bei linearen Abbildungen gilt:

Das bedeuted:
Darüber mache ich mir glaube ich morgen noch Gedanken smile aber erstmal vielen Dank für deine Hilfe smile

Ich nehme an, du meintest:
Zeigen sie, dass ein Isomorphismus ist.

Surjektivität folgt nur dann aus der Injektivität, wenn die Vektorräume dieselbe Dimension haben. Du müsstest also zusätzlich zeigen, dass


(Es geht hier wohlgemerkt nicht um die Dimensionen von V und W!)
Berndinio1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wollte mich gerade nicht einloggen, hab's gerade etwas eilig....

ja, da hast du recht, allerdings sind ja die Dimensionen gleich....
Denn:
und

und da ja nun
und
und
(Da kann ich mich auf unser Skript berufen)

Damit hätte ich ja gezeigt, dass die Dimensionen gleich sind.... also muss ich nur noch zeigen, dass der Kern = 0 ist.... dann folgt meine surjektivität automatisch

Ja ich meinte psi smile und nicht phi^^
Ich habe mir das oben fix durchgeschaut und ich gebe dir natürlich recht .__. ich schaue mir das später aber noch einmal präziser an smile
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