Lineare Abbildung & Isomorphismus

16.12.2013, 15:58

Berndinio

Lineare Abbildung & Isomorphismus

Aufgabe
a) Es seien V und W Vektorräume über dem Körper K
Zeigen sie:
$\begin{eqnarray*} \psi : Hom(V,W) \rightarrow Hom(W^* , V ^*) , \phi \rightarrow \phi^* \end{eqnarray*}$
ist eine lineare Abbildung.
Anmerkung meinerseits:
$\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ ist der Dualraum von V ebenso mit W

ALSO, ich habe mir folgendes überlegt:
1) $\begin{eqnarray*} \phi \in Hom(V,W) \end{eqnarray*}$ beliebig natürlich
Damit ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ja automatisch linear
2) $\begin{eqnarray*} \phi^* \in Hom(V^*,W^*) \end{eqnarray*}$
Damit ist ja auch $\begin{eqnarray*} \phi^* \end{eqnarray*}$ automatisch linear :P

Dann kann ich die Abbildung oben ja erstmal so ausdrücken:
$\begin{eqnarray*} \psi(\phi) = \phi^* \end{eqnarray*}$
dann kam ich darauf, das mal mit beliebigen Werten zu machen (wie immer). Also:
$\begin{eqnarray*} v_1, v_2 \in V \end{eqnarray*}$
==> $\begin{eqnarray*} \psi(\phi(v1+v2)) \end{eqnarray*}$ dann habe ich weiter umgeform...
= $\begin{eqnarray*} \psi(\phi(v1)+\phi(v2)) \end{eqnarray*}$ (da phi linear)
= $\begin{eqnarray*} \psi(\phi(v1)) + \psi(\phi(v2)) \end{eqnarray*}$
------------------------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} \phi(v1) \end{eqnarray*}$ muss ja auf ein w abgebildet werden... nennen wir es w1. Also
$\begin{eqnarray*} \phi(v1) = w1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \phi(v2) = w2 \end{eqnarray*}$
------------------------------------------------------------------------
Dann heißt es ja (Umformung geht weiter)
= $\begin{eqnarray*} \psi(w1) + \psi(w2) \end{eqnarray*}$

Und ab hier weiß ich nicht mehr wirklich weiter

16.12.2013, 16:34

Berndinio

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ich glaube das war ziemlich blöd, denn ich müsste ja nachweisen, dass ich meinem psi ZWEI ABBILDUNGEN geben kann und es egal ist, ob ich die vor der Abbildung mit psi addiere oder nach der Abbildung mit psi....
von daher ist mein beispiel mit den vektoren aus V bzw. W völliger Humbuk

17.12.2013, 12:21

RavenOnJ

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RE: Lineare Abbildung & Isomorphismus
Seien $\begin{eqnarray*} \phi_1,\phi_2\in \operatorname{Hom}(V,W) \end{eqnarray*}$ , sowie die dualen Abbildungen $\begin{eqnarray*} \phi_1^*,\phi_2^*\in \operatorname{Hom}(W^*,V^*) \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} \phi_i^*: W^*\to V^*, f\mapsto f\circ \phi_i,\forall f\in W^* \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} (\phi_1+\phi_2)^*(f) = f\circ (\phi_1+\phi_2) = f\circ \phi_1 +f\circ \phi_2 = \phi_1^*(f)+\phi_2^*(f) \end{eqnarray*}$

Es ist also

$\begin{eqnarray*} \psi(\phi_1+\phi_2) = (\phi_1+\phi_2)^* = \phi_1^*+\phi_2^* = \psi(\phi_1)+\psi(\phi_2) \end{eqnarray*}$

(skalare Multiplikation kannst du zeigen.)

$\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ist also linear.

17.12.2013, 13:38

Berndinio

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hm, ok ... ich wollte zwar keine Lösung sondern mir das Schritt für Schritt herleiten, weil dann kann man sich es natürlich besser merken
Jetzt nicht falsch verstehen smile

ich bin sehr froh und dankbar, dass mir jemand helfen will smile

Ich versuche das gleich mal nachzuvollziehen und melde mich dann wieder Gott

17.12.2013, 23:12

Berndinio

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$\begin{eqnarray*} \phi_i^*: W^*\to V^*, f\mapsto f\circ \phi_i,\forall f\in W^* \end{eqnarray*}$
Ich kann das nicht in meiner Vorlesung finden >.< .... wie kommt man denn darauf:
$\begin{eqnarray*} f\mapsto f\circ \phi_i \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} \phi_i\in \operatorname{Hom}(V,W) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f\in W^* \end{eqnarray*}$ ist ja dann also $\begin{eqnarray*} f\in \operatorname{Hom}(W,K) \end{eqnarray*}$

Wenn ich die beiden jetzt verkette, komm ich doch zu irgendeinem mist....
weil phi bildet von W auf V ab und dann wird f darauf angewendet und will die Ergebnise von phi auf K abbilden? (Bild(phi) ist doch Unterraum von V .... aber f bildet dann von W !!! ==> K)
Wie darf man sich das jetzt vorstellen?
Ich meine: Ich könnte das jetzt abpinseln und das mit der skalaren Multiplikation analog beweisen. Das wäre ja nur Grundwissen über lineare Abbildungen... Aber ich will es verstehene >.<

EDIT!!!!!
Ich überdenke das eben nochmal....hab gemerkt, dass ich falsch gedacht habe

18.12.2013, 01:34

Berndinio

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Ok, ich habe das ganze nochmal in meinem Script nachgeschlagen und überdacht...
Also, was mir gefehlt hatte war die Vorschrift für die duale lineare Abbildung:
$\begin{eqnarray*} \phi_i^*: W^*\to V^*, f\mapsto f\circ \phi_i,\forall f\in W^* \end{eqnarray*}$
um genauer zu sein das hier: $\begin{eqnarray*} f\mapsto f\circ \phi_i,\forall f\in W^* \end{eqnarray*}$

Meine Verwirrung im letzten Post kam daher, dass ich nicht das GANZE bei der dualen lin. Abb. betrachtet habe...
Es bedeuted hier ja nur, dass eine W==>K Abbildung auf eine V==>K Abbildung abgebildet wird, was wir ja mit $\begin{eqnarray*} f\mapsto f\circ \phi_i,\forall f\in W^* \end{eqnarray*}$ haben, denn:
phi: V==>W und dann f: W==>K, Also
V=>W=>K ..... V=>K und der Rest ergibt sich ja dann förmlich von selbst.

Wenn ich mal die Aufgabe anschreiben dürfte (ich bin einfach mal so frei und kopiere deines hier hin):
Additivität
Seien $\begin{eqnarray*} \phi_1,\phi_2\in Hom(V,W) \end{eqnarray*}$ , sowie die dualen Abbildungen $\begin{eqnarray*} \phi_1^*,\phi_2^*\in Hom(W^*,V^*) \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} \phi_i^*: W^*\to V^*, f\mapsto f\circ \phi_i,\forall f\in W^* \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} (\phi_1+\phi_2)^*(f) = f\circ (\phi_1+\phi_2) = f\circ \phi_1 +f\circ \phi_2 = \phi_1^*(f)+\phi_2^*(f) \end{eqnarray*}$

Es ist also

$\begin{eqnarray*} \psi(\phi_1+\phi_2) = (\phi_1+\phi_2)^* = \phi_1^*+\phi_2^* = \psi(\phi_1)+\psi(\phi_2) \end{eqnarray*}$

Skalare Multiplikation
Sei $\begin{eqnarray*} \phi_1 \in Hom(V,W) \end{eqnarray*}$ , sowie die duale Abbildungen $\begin{eqnarray*} \phi_1^*\in Hom(W^*,V^*) \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} \phi_i^*: W^*\to V^*, f\mapsto f\circ \phi_i,\forall f\in W^* \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} (\phi_1\cdot\lambda_1)^*(f) = f\circ (\phi_1\cdot\lambda_1) = f(\lambda_1\cdot\phi_1) = \lambda_1\cdot f(\phi_1) = \lambda_1\cdot f\circ\phi_1 = \lambda_1\cdot \phi_1^*(f) \end{eqnarray*}$

Es ist also

$\begin{eqnarray*} \psi(\phi_1\cdot\lambda_1) = (\phi_1\cdot\lambda_1)^* =\lambda_1\cdot \phi_1^*= \lambda_1\cdot\psi(\phi_1) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mal, dass das so richtig ist smile

Wir haben das in unserer Vorlesung so komisch definiert...Im Prinzip steht da nichts anderes, aber das erkennt man irgendwie erst, wenn man es schon weiß unglücklich

Bei uns steht für die Vorschrift:
$\begin{eqnarray*} <\psi^*(g) , v> = <g,\psi(v)> \end{eqnarray*}$
Natürlich für $\begin{eqnarray*} \psi \in Hom(V,W) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} g \in W^* \end{eqnarray*}$ unglücklich

18.12.2013, 02:05

Berndinio

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Aufgabe b) ist:
Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist.

Wir haben ja schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ linear ist.
Wenn wir zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ injektiv ist, müsste doch die surjektivität durch die Linearität folgen, oder?
Nunja bei linearen Abbildungen gilt:
$\begin{eqnarray*} \psi injektiv\leftrightarrow Kern(\psi ) = 0 \end{eqnarray*}$
Das bedeuted:
Darüber mache ich mir glaube ich morgen noch Gedanken smile

aber erstmal vielen Dank für deine Hilfe smile

18.12.2013, 13:53

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Berndinio
Skalare Multiplikation
Sei $\begin{eqnarray*} \phi_1 \in Hom(V,W) \end{eqnarray*}$ , sowie die duale Abbildungen $\begin{eqnarray*} \phi_1^*\in Hom(W^*,V^*) \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} \phi_i^*: W^*\to V^*, f\mapsto f\circ \phi_i,\forall f\in W^* \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} (\phi_1\cdot\lambda_1)^*(f) = f\circ (\phi_1\cdot\lambda_1) = {\color{red}f(\lambda_1\cdot\phi_1) = \lambda_1\cdot f(\phi_1)} = \lambda_1\cdot f\circ\phi_1 = \lambda_1\cdot \phi_1^*(f) \end{eqnarray*}$

Das Rote ist nicht richtig, dass $\begin{eqnarray*} f:W\to K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi_1\in\operatorname{Hom}(V,W) \end{eqnarray*}$ , was nicht zum Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gehört.

Man sollte sich klar machen, dass $\begin{eqnarray*} \lambda\phi\in\operatorname{Hom}(V,W) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda f\in W^* \end{eqnarray*}$ definierte Abbildungen sind:
Sei $\begin{eqnarray*} \phi\in\operatorname{Hom}(V,W),V\ni v \mapsto w\in W \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda\phi \end{eqnarray*}$ definiert als
$\begin{eqnarray*} \lambda\phi: V\to W,v\mapsto \lambda \cdot\phi(v) = \lambda\cdot w \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} f:W\to K, w\mapsto x \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda f \end{eqnarray*}$ definiert als
$\begin{eqnarray*} \lambda f: W\to K,w\mapsto \lambda \cdot f(w) = \lambda \cdot x \end{eqnarray*}$

Es ist dann $\begin{eqnarray*} \lambda \phi^* :W^* \to V^*, \forall f\in W^*: f\mapsto f\circ (\lambda \phi), v\mapsto {\color{red}\lambda w}\mapsto \lambda x \end{eqnarray*}$ .
Andererseits kann man genauso abbilden $\begin{eqnarray*} f\mapsto (\lambda f)\circ\phi, v \mapsto {\color{red}w}\mapsto\lambda x \end{eqnarray*}$ . Es ist also $\begin{eqnarray*} (\lambda f)\circ\phi = f\circ(\lambda \phi) = \lambda (f\circ\phi)\;. \end{eqnarray*}$

In dem Sinne wird abgebildet
$\begin{eqnarray*} \psi(\lambda \phi) = (\lambda\phi)^* = \lambda\psi(\phi) \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte man noch die Distributivgesetze für die skalare Multiplikation zeigen, also.
$\begin{eqnarray*} \psi((\lambda +\mu)\phi) = \lambda\psi(\phi) + \mu\psi(\phi) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \psi(\lambda (\phi_1+\phi_2)) =\lambda\psi(\phi_1) + \lambda\psi(\phi_2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wir haben das in unserer Vorlesung so komisch definiert...Im Prinzip steht da nichts anderes, aber das erkennt man irgendwie erst, wenn man es schon weiß unglücklich

Was du hier hast ist das Skalarprodukt zweier Vektoren und die Beziehung zwischen einer Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi\in\operatorname{Hom}(V,V) \end{eqnarray*}$ und der dazugehörigen adjungierten Abbildung. Das ist was ganz anderes.

18.12.2013, 14:02

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Berndinio
Aufgabe b) ist:
Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist.

Wir haben ja schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ linear ist.
Wenn wir zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ injektiv ist, müsste doch die surjektivität durch die Linearität folgen, oder?
Nunja bei linearen Abbildungen gilt:
$\begin{eqnarray*} \psi injektiv\leftrightarrow Kern(\psi ) = 0 \end{eqnarray*}$
Das bedeuted:
Darüber mache ich mir glaube ich morgen noch Gedanken smile

aber erstmal vielen Dank für deine Hilfe smile

Ich nehme an, du meintest:
Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist.

Surjektivität folgt nur dann aus der Injektivität, wenn die Vektorräume dieselbe Dimension haben. Du müsstest also zusätzlich zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \dim(\operatorname{Hom}(V,W)) = \dim(\operatorname{Hom}(W^*,V^*)) \end{eqnarray*}$

(Es geht hier wohlgemerkt nicht um die Dimensionen von V und W!)

18.12.2013, 19:12

Berndinio1

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Wollte mich gerade nicht einloggen, hab's gerade etwas eilig....

ja, da hast du recht, allerdings sind ja die Dimensionen gleich....
Denn:
$\begin{eqnarray*} dim(V)=dim(V^*)=n \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} dim(W)=dim(W^*)=m \end{eqnarray*}$
und da ja nun
$\begin{eqnarray*} dim(Hom(V,W)=m\cdot n \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} dim(Hom(W^*,V^*)=n\cdot m \end{eqnarray*}$ und
(Da kann ich mich auf unser Skript berufen)

Damit hätte ich ja gezeigt, dass die Dimensionen gleich sind.... also muss ich nur noch zeigen, dass der Kern = 0 ist.... dann folgt meine surjektivität automatisch

Ja ich meinte psi smile

und nicht phi^^
Ich habe mir das oben fix durchgeschaut und ich gebe dir natürlich recht .__. ich schaue mir das später aber noch einmal präziser an smile

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