Linearkombinationen

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Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
Linearkombinationen
Meine Frage:
Guten Abend smile

Sei V ein Vektorraum über dem Körper und sei eine linear unabhängige Menge. Zeigen Sie, dass jeder Vektor aus dem Erzeugnis von M unendlich viele Darstellung als Linearkombination von Vektoren aus M hat.

Meine Ideen:
Prinzipiell ist es mir bewusst, dass es unendlich viele Darstellungen gibt, da aufgrund der linearen Abhängigkeit man die Vektoren immer wieder verändern kann.
Nun weiß ich jedoch nicht, wie ich dies am besten beweisen kann.

Vielen Dank im Voraus! Augenzwinkern


edit: Die Menge M soll linear abhängig sein!
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Wurde die Aufgabe genau so gestellt oder gibt es dazu vielleicht noch ein paar Informationen.

Denn beispielsweise ist der ein Vektorraum über den reellen Zahlen und M könnte man dann wählen als .

Hier haben aber die Vektoren aus dem Erzeugnis eine eindeutige Darstellung als Linearkombination.

Oder sollen die Vektoren in M linear abhängig sein?!
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, mein Fehler!
Ja, die Menge M soll linear abhängig sein.
Tut mir leid, da hab ich wohl zu schnell getippt. Gott
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Darf M auch unendlich sein, oder immer nur endlich viele Elemente enthalten?

Für den endlichen Fall kannst du dir ja mal zwei Linearkombinationen des gleichen Elements anschauen und dir anschauen warum die Linearkombination nicht eindeutig ist. Bzw. schreibe die Gleichung auf und wir machen dann zusammen weiter.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte noch die Frage beantworten, ob M nur endlich sein darf!

Ich meinte du sollst die Allgemeine Vorschrift aufschreiben:



Und hier überlegen ob ein x mehrere Möglichkeiten für die hat.
 
 
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ob M endlich sein darf, steht hier nicht. :/



Wenn die Vektoren immer gleichbleiben, gibt es nur eine Möglichkeit für x.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Wir nehmen jetzt an, dass M endlich ist und die folgende Form hat:



Sei nun

Weiter wissen wir auch schon, dass M linear abhängig ist. O.d.B.A nehmen wir an es gilt:



Jetzt nehme dir nun die Gleichung



für einige i, sonst wäre es ja die gleiche Darstellung.

Versuche jetzt mit den oben genannten Tipps zu argumentieren warum es unendlich viele Möglichkeiten gibt, x darzustellen.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn ich ausklammern, muss das doch gleich sein. Und dies geht doch nicht, oder?

z.B. und
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe gerade deine Frage nicht. Wo genau kannst du was nicht ausklammern?

Wenn dann ist natürlich ,

aber
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Hat sich schon erledigt, hatte einen Denkfehler.

Nun auf deine Frage zurück:

Aufgrund dieser Gleichung sieht man, dass man dies für unendliche viele Linearkombinationen machen kann. Da man dies auch für machen kann usw.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Was kann man für machen? Es kann doch sein, dass linear unabhängig sind und nur linear abhängig gegenüber . Also



Mehr wissen wir bisher noch nicht. Aus dieser Gleichung sehe ich nicht, dass es zu dem oben definierten x unendliche viele linear Kombinationen gibt.

Versuch mal die Summe von in die Summe von einzusetzen,.. dann umformen.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

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