Lineare Unabhängigkeit

17.12.2013, 16:47

Lynn2

Lineare Unabhängigkeit

Meine Frage:
Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und seien $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, ..., v_n \in V \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.
Für welche $\begin{eqnarray*} \Lambda \in K \end{eqnarray*}$ sind dann auch die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1 + v_2, v_2 + v_3, ..., v_{n-1} + v_n, v_n + \Lambda\cdot v_1 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig?

Meine Ideen:
Meine Idee ist, dass für alle Lambda außer 0, die Vektoren unabhängig sind.

17.12.2013, 17:12

DerJFK

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Begründe es doch mal, warum sie gerade für 0 linear unabhängig sein sollen.

17.12.2013, 18:12

DerJFK

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Also deine Antwort ist auch nicht richtig, deshalb wollte ich das du es begründest,.. Augenzwinkern

17.12.2013, 20:04

Lynn2

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Weil der Nullvektor, der entstehen würde durch die 0, immer linear abhängig ist! Augenzwinkern

17.12.2013, 20:14

DerJFK

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Welcher Nullvektor? $\begin{eqnarray*} v_n + 0 \cdot v_1 = v_n \not= 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und seien $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, ..., v_n \in V \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.
Für welche $\begin{eqnarray*} \Lambda \in K \end{eqnarray*}$ sind dann auch die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1 + v_2, v_2 + v_3, ..., v_{n-1} + v_n, v_n + \Lambda\cdot v_1 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig?

Für $\begin{eqnarray*} \Lambda = 0 \end{eqnarray*}$ sind die Vektoren linear unabhängig. Aber man kann es auch wo wählen, dass sie linear abhängig werden.

Versuche mal mit der Definition zu arbeiten wann Vektoren linear unabhängig sind:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = 0 \end{eqnarray*}$ , die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ heißen linear unabhängig wenn es nur genau eine Lösung der Gleichung mit $\begin{eqnarray*} \alpha_i = 0 \end{eqnarray*}$ gibt. Sonst linear abhängig.

17.12.2013, 20:44

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} \alpha_i (v_1 + v_2), \alpha_i (v_2 + v_3), ..., \alpha_i (v_{n-1} + v_n), \alpha_i (v_n + \Lambda\cdot v_1) = \alpha_i [(v_1 + v_2), (v_2 + v_3), ..., (v_{n-1} + v_n), (v_n + \Lambda\cdot v_1)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha_i = 0 \end{eqnarray*}$

Also gilt das für alle Lambda.!? verwirrt

17.12.2013, 20:50

DerJFK

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Nein, es gilt nicht für alle.

Schreib dir mal die Linearkombination der neuen Vektoren auf und versuche so umzuformen, dass es benutzen kannst, dass du weißt das $\begin{eqnarray*} v_1,..,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind

Tipp:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i (v_i + v_{i+1}) + \alpha_n(v_n + \Lambda v_1) = 0 \end{eqnarray*}$

18.12.2013, 10:27

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} \alpha_i (v_1 + v_2) + \alpha_i (v_2 + v_3) + ... + \alpha_i (v_{n-1} + v_n) + \alpha_i (v_n + \Lambda\cdot v_1) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (v_1 + v_2) + (v_2 + v_3) + ... + (v_{n-1} + v_n) + (v_n + \Lambda\cdot v_1) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_1 + v_2 + v_2 + v_3 + ... + v_{n-1} + v_n + v_n = - \Lambda\cdot v_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - \frac {v_1}{v_1} - \frac {v_2}{v_1} - \frac {v_2}{v_1} - \frac {v_3}{v_1} - ... - \frac {v_{n-1}}{v_1} - \frac {v_n}{v_1} - \frac {v_n}{v_1} = \Lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - \frac {v_1}{v_1} - \frac {2 \cdot v_2}{v_1} - \frac {v_3}{v_1} - ... - \frac {v_{n-1}}{v_1} - \frac {2 \cdot v_n}{v_1} = \Lambda \end{eqnarray*}$

18.12.2013, 15:55

DerJFK

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Wie ist denn bitte die Division bei Vektoren definiert?

warum sind bei dir alle $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gleich?

Zitat:

Tipp:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i (v_i + v_{i+1}) + \alpha_n(v_n + \Lambda v_1) = 0 \end{eqnarray*}$

Was du da stehen hast, steht nicht in meinem Tipp

EDIT:

Schreib doch auch bitte was dazu was du machst.

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