Eigenvektor

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17.12.2013, 19:37	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor Meine Frage: folgende Ausgangsmatrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & -4 & 2 \end {pmatrix} \end{eqnarray}$ I ch möchte nun den Eigenvektor zum Eigenwert 2 ermitteln und habe wie folgt umgestellt : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end {pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich Problem weiter zu kommen, weil die 3 Zeile mir Problem bereitet . Meine Ideen: keine Ansätze
17.12.2013, 19:45	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin , Ich nenne mal die einzelnen Spalten a-d Du kannst doch nun sofort d bestimmen (aus der dritten Zeile). Damit dann in die zweite Zeile. Da eine Variable frei wählen und vollens durcharbeiten.
17.12.2013, 19:49	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo $\begin{eqnarray} E= x_{3}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diesen Vektor habe ich ermittelt. Wenn das richtig ist was wähle ich nachher für einen Vektor um die Basisvektoren zu bestimmen ( zu den anderen Eigenwerten)
17.12.2013, 19:56	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst Du auf den Betateil? Der erste Summand ist richtig und ausreichend . Die anderen bestimme genauso. Mit nur dem einen Vektor kannst du nicht auf die anderen 3 rückschließen.
17.12.2013, 20:06	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Betateil entshet, weil ich einen Parameter benötige um die Matrix zu lösen n-r= 4-3= 1 Parameter Bei dem Eigenwert 0 habe ich folgendes raus ( 2 Parameter) $\begin{eqnarray} E1=\alpha \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ \beta \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
17.12.2013, 20:14	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Halt, halt. Du hast einen Vektor dessen Länge beliebig ist. Deswegen kannst du immer eine Variable frei wählen. In deinem Fall (EW 0), hast du das durch Beta deutlich gemacht. Einen zweiten Summanden braucht es aber nicht! Oft wird nicht mal Beta hingeschrieben, sondern beispielsweise d = 1 gewählt und die anderen entsprechend passend bestimmt (in dem Falle also b = -1). Du hast also EW 0 -> EV $\begin{eqnarray} v_1=\beta\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ EW 2 -> EV $\begin{eqnarray} v_3= \alpha\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (Oder auch ab und an ohne Vorfaktor)
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17.12.2013, 20:22	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok beim Eigenwert 1 habe ich d=1 gewählt $\begin{eqnarray} E3= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
17.12.2013, 20:25	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig .
17.12.2013, 20:40	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei dem Eigenwert 4 habe ich schwierigkeiten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -5 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
17.12.2013, 20:49	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest nochmals nachschauen, wie du auf die letzte Zeile kommst. Die passt so nicht.
17.12.2013, 20:54	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -5 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hmm trotzdem habe ich Schwierigkeiten. Ich möchte d=1 haben und es klappt nicht mit den anderen werten
17.12.2013, 20:55	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt passt es. Du musst dich iwie verhaspeln. Tipp: Wähle d = 5 und du hast keine Brüche. c = 0 sollte ja direkt klar sein . Verbleibt noch a und b.
17.12.2013, 21:06	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
2 Fragen 1.Schreibt man den Basivektor nun so auf ? 2. prüft man ihn auf lineare unabhängikeit indem die Determinante ungleich 0 ist ? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 & 4 \\ -1 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 5\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
17.12.2013, 21:31	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube Basisvektor ist der falsche Begriff. Immerhin haben wir ne Matrix. "Basis aus Eigenvektoren" schon eher. Und ja, die Determinante ist das Prüfmittel bzgl der lin. Unabh. .
17.12.2013, 22:31	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich nochmal auf den Eigenvektor vom Eigenwert 0 zurückblicke, dann komme ich nicht auf die Lösung wenn ich für b = -1 einsetze
17.12.2013, 22:37	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm wie meinen? Wir hatten doch EW 0 -> EV $\begin{eqnarray} v_1=\beta\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ausgerechnet? Völlig richtig ist das.
17.12.2013, 22:41	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber du hast gesagt das man sich eine Variable frei wählen darf. Bei dem Eigenwert 0 besitz die Matrix 2 Nullzeilen von 4 Zeilen insgesamt und wenn ich mir jetzt sage b=-1 dann komme ich nicht auf das Ergebnis
17.12.2013, 22:45	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt doch eine Abhängigkeit zwischen b und d. Nämlich b = -d Setzt du nun b = -1, so ist d = 1. Das passt mit dem gefundenen EV zusammen?!
17.12.2013, 22:48	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es denn nicht auch ein abhängigkeit zwischem b und c?
17.12.2013, 23:03	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, c=0 wo also soll es da eine Abhängigkeit geben?
17.12.2013, 23:05	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke mir ja auch da man frei wählen könnte, könnte man auch c=1 sagen
17.12.2013, 23:13	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst doch c gar nicht frei wählen . Da stande doch sicher eine Zeile mit (0 0 1 0) Und das ganze soll ja 0 ergeben, somit muss c = 0 sein. Ok? Ich bin nun leider im Bett, falls noch was ist .
17.12.2013, 23:20	Timy	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh nein das stimmt ^^ Na dann mal eine gute Nacht
18.12.2013, 08:27	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann alles klar?

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