Permutation-vertauschen-signum

17.12.2013, 21:12	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
Permutation-vertauschen-signum hi, habe es hier wohl mit einer banalen aufgabe zu tun. aber irgendwie check ich die ganzen erklärenund wie in wiki zb nicht. dort haben fachbegriffen auch ständig andere namen und so. es geht um folgendes. ich soll die folgende permutation als produkt von vertauschungen schreiben und das sign bestimmen. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1& 2 & 3& 4 & 5&6 \\ 2& 1 & 4& 3 & 6&5 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
18.12.2013, 18:29	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Permutation-vertauschen-signum will denn keiner helfen^^
18.12.2013, 18:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du schon gemerkt, dass diese Permutation 1 und 2 vertauscht, also die Transposition (12) enthält ? Findest du bei aufmerksamem Hinschauen eventuell noch eine Transposition in dieser Permutation ?
18.12.2013, 19:58	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
damit willst du wohl auf 3,4 hinaus. aber bei mir gehts mit den problemen schon viel früher los. von welcher zeile reden wir denn überhaupt? welche sind wichtig? brauch ich die erste überhaupt? die obere wird immer auf die untere abgebildet. hier ein beispiel genau anders rum, ich glaube daran erkennt man mein problem. $\begin{eqnarray} A_{1,3}\cdot A_{1,2} =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und nun weiß ich, dass $\begin{eqnarray} A_{1,2} =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_{1,3} =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist. Aber wieso? ich kann mir das schon seit stunden nicht erklären wie da was vertauscht wird. wenn ich dann selber das produkt bilde (erst mit dem rechten, also 1,2) dann kommt auch wieder was anderes raus. bei der mit 1,2 wird spalte 2 und 3 vertauscht. bei 1,3 kommt aber schon das produkt heraus. ich verstehs nicht. ich erkenne kein system
19.12.2013, 18:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast weniger Probleme, wenn du erst mal die 1. Frage betrachtest, weil die so schön einfach ist. 5 und 6 werden auch noch vertauscht, was du mit ein klein wenig Geduld auch alleine herausgefunden hättest. Also ist die Permutation $\begin{eqnarray} \sigma=(12)(34)(56) \end{eqnarray}$ , sie besteht aus 3 Transpositionen, folglich ist $\begin{eqnarray} sign(\sigma)=(-1)^3=-1 \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ gehört nicht zur Untergruppe der geraden Permutationen $\begin{eqnarray} A_6\le S_6 \end{eqnarray}$ . Nun zur 2. Frage: $\begin{eqnarray} (13)(12)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Schreibweise beginnt in der 1. Zeile mit 1 2 3 . Darauf wird in der 2. Zeile die Transposition (12) angewendet (Funktionen f und g werden immer von rechts nach links geschrieben, das macht Sinn, weil dann gf(x)=g(f(x)) einfach so dasteht, ohne dass man irgendwo die Reihenfolge vertauschen müsste), die Transposition vertauscht 1 und 2, also lautet die 2. Zeile 2 1 3 . Auf die 2. Zeile wird die Transposition (13) angewendet, sie vertauscht 1 und 3, also steht da 2 3 1 . In Zyklenschreibweise ist das die Permutation $\begin{eqnarray} (2 3 1) \end{eqnarray}$ , weil 1 auf 2, 2 auf 3 und 3 auf 1 abgebildet wird. Eine Permutation mit 2 Transpositionen hat das Signum (-1)²=1, das ist also eine gerade Permutation aus $\begin{eqnarray} A_3 \end{eqnarray}$ . Es werden keine "Spalten" vertauscht, sondern "Zahlen", im allgemeinen vertauschen Permutationen "Elemente (einer Menge)", Permutationen sind bijektive Selbstabbildungen einer Menge M auf sich.

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