Grenzwertberechnung von Logarithmus- und Exponentialfunktionen

19.12.2013, 14:11

da_zodelte

Grenzwertberechnung von Logarithmus- und Exponentialfunktionen

Meine Frage:
Die Frage ist sehr generell gestellt, doch ich denke, an den beiden unten aufgeführten Beispielen lässt sich das ganz gut verstehen. Hoffe auf gute Rückmeldung smile

Gesucht sind folgende Grenzwerte:

1. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^x}{2^x - 2^2} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{ln(lnx)}{ln(x)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zu der zweiten habe ich gar keine Ahnung, wie man das lösen könnte. Der Logarithmus geht ja ins Unendliche, auch wenn die Steigung sehr, sehr niedrig ist.

Zu der ersten Aufgabe hätte ich mir überlegt, dass man auf jeden Fall betrachten muss, ob der Graph von rechts der zwei (also 2+) oder links der zwei kommt (2-).
Für den Fall, dass der Graph von rechts kommt, teilt man irgendetwas sehr sehr kleines Positives durch etwas sehr sehr kleines Negatives (x² > 2^x für x-Werte minimal über 2). Für den Fall, dass der Graph von links kommt, hat man in etwa 3,5: (-3,5) --> ungefähr minus 1.

Wäre super, wenn ihr mir da ein wenig auf die Sprünge helfen könntet.

19.12.2013, 14:29

Count von Count

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RE: Grenzwertberechnung von Logarithmus- und Exponentialfunktionen (Zwei Beispiele)
Hallo,
bei der ersten Aufgabe stimmen Deine Grenzwerte nicht. Würde ich Mit der Regel von l'Hospital versuchen.
Die zweite Aufgabe sieht auch sehr nach l'Hospital aus. Ich fang 'mal an zu rechnen.

19.12.2013, 15:20

da_zodelte

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RE: Grenzwertberechnung von Logarithmus- und Exponentialfunktionen (Zwei Beispiele)
l'Hospital sagt mir zwar noch nichts, aber das lässt sich ja ändern...! Ich mach mich mach dahingehend schlau und meld mich mit neuem Versuch am Abend. Vielleicht hast du ja bis dahin schon eine nette Lösung parat.

Vielen Dank auf jeden Fall für die flotte Antwort

19.12.2013, 15:32

Count von Count

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RE: Grenzwertberechnung von Logarithmus- und Exponentialfunktionen (Zwei Beispiele)
ok.
Guck 'mal nach der Regel von l'Hospital. Dann wird nach ein bischen (wirklich nur ein bischen) Rechnen das Problem geknackt.
Und keine Panik vor l'Hospital, dessen Formel ist ebenso einfach wie genial.

p.s. bin so gegen 20.00h wieder erreichbar.
bis dahin

19.12.2013, 22:55

da_zodelte

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RE: Grenzwertberechnung von Logarithmus- und Exponentialfunktionen (Zwei Beispiele)
Schnell gelöst, mal schaun, ob es nun auch richtig ist.

Vielen Dank schon mal für den netten Hinweis. Scheint ja 'ne leichte Regel zu sein.

Hier also meine Lösung.

Zu 1.:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \ 2 } \frac{x^2 - 2^x}{2^x - 2^2} = \lim_{x \to \ 2 } \frac{(x^2 - 2^x)^{'}}{(2^x - 2^2)^{'}} = \lim_{x \to \ 2 } \frac{x(2 - 2^{x-1})}{x2^{x-1}} \Rightarrow \lim_{x \to \ 2 } \frac{0}{2} = \infty \end{eqnarray*}$

Zu 2.:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \ \infty } \frac{ln(lnx)}{lnx} = \lim_{x \to \ \infty } \frac{(ln(lnx))^{'}}{(lnx)^{'}} = \lim_{x \to \ \infty } \frac{\frac{1}{x} * \frac{1}{x} }{\frac{1}{x} } = \lim_{x \to \ \infty } \frac{1}{x} \Rightarrow \lim_{x \to \ \infty } 0 \end{eqnarray*}$

so, jetzt bin ich aber gespannt smile

20.12.2013, 12:37

Count von Count

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RE: Grenzwertberechnung von Logarithmus- und Exponentialfunktionen
Hi,
jetzt bist Du schon auf einem guten Weg zur Lösung.
Zwei Dinge solltest Du bedenken:

1. Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} (2^x)' \neq x \cdot 2^{x-1} \end{eqnarray*}$ .
Tip:

$\begin{eqnarray*} 2^x=e^{x \cdot ln 2} \end{eqnarray*}$
und jetzt mit der Kettenregel ableiten.

2. Du ahnst es: $\begin{eqnarray*} [ln(ln x)]' \neq \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
auch hier mit der Kettenregel ableiten.

Der Grenzwert in Aufgabe 1 ist endlich. In Aufgabe 2 kommt tatsächlich Null heraus, das ist mit Deiner Rechnung aber der reine Zufall.

Weiterrechnen! Du bist ganz nah dran an der Lösung.

p.s. Die Regel von l'Hospital hast Du gut verstanden. Weiter so

20.12.2013, 12:49

Count von Count

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RE: Grenzwertberechnung von Logarithmus- und Exponentialfunktionen
ach ja, seh ich ja jetzt erst: 0/2 ist doch nicht unendlich! Taschenrechner kaputt?
böse

20.12.2013, 17:28

da_zodelte

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RE: Grenzwertberechnung von Logarithmus- und Exponentialfunktionen
Dann auf ein Neues. Dachte eig., dass ich die Kettenregel verwendet habe. Hm, wohl stark geschludert - da muss ich wohl nochmal nachbessern.

Hoffe, dass die folgenden Ableitungen nun richtig sind.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^x}{2^x - 2^2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x^2 - 2^x)^{'}}{(2^x - 2^2)^{'}} = \lim_{x \to 2} \frac{2x - ln(2)*2^x }{ln(2)*2^x} \end{eqnarray*}$
Hier komm ich nun mit dem Vereinfachen nicht mehr weiter. Kann man denn das überhaupt noch vereinfachen? Wenn nein, wie seh ich nun den Grenzwert?

Bei Nummer zwei habe ich zugegebenermaßen geschummelt bei der Ableitung. Ich hätte eben gedacht, bei meiner ersten Lösung schon die Kettenregeln beachtet zu haben. Doch dem war wohl nicht so.
Erst mal schnell meine neue Lösung:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{ln(ln(x))}{ln(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{(ln(ln(x)))^{'}}{(ln(x))^{'}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x*ln(x)}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} ln(x) = \lim_{x \to \infty} \infty \end{eqnarray*}$
Wie kommt man denn nun auf das 1/(x*ln(x)), wenn man ln(lnx) ableitet? Sowohl die innere als auch die äußere Funktion ist ja ln(x). Also erst die Äußere abgeleitet (=1/x) mal die innere abgeleitet (= 1/x) - so wär gerade noch mein Verständnis. Wär lieb, wenn du mir das noch in ein paar Worten erklären könntest.

20.12.2013, 18:16

da_zodelte

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RE: Grenzwertberechnung von Logarithmus- und Exponentialfunktionen
OK, das mit der Kettenregel hab ich nun wieder geschluckt. Kannst dir eine Erklärung sparen, hab ich verstanden.
Trotzdem danke.

Somit steht noch die Frage aus, ob 2. richtig ist und wie man 1. noch weiter vereinfachen kann

20.12.2013, 19:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von da_zodelte
Hier komm ich nun mit dem Vereinfachen nicht mehr weiter. Kann man denn das überhaupt noch vereinfachen? Wenn nein, wie seh ich nun den Grenzwert?

Ich würde es einfach mal mit Einsetzen (!) von x=2 in den letzten Quotienten versuchen... Augenzwinkern

20.12.2013, 20:57

Count von Count

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RE: Grenzwertberechnung von Logarithmus- und Exponentialfunktionen
Hi,
hör auf HAL9000 und setze 2 für x ein. nach dem einsetzen kann man noch ein wenig Formelkosmetik betreiben und erhält schließlich:

$\begin{eqnarray*} \frac{2 \cdot 2 - 2^2 \cdot ln 2}{2^2 \cdot ln 2} = \frac{1}{ln 2}- 1 \end{eqnarray*}$

Was man schöner findet, ist gewissermaßen eine Frage des Geschmacks. Betrachte diesen Teil der Aufgabe als gelöst.

In Teil 2 hat sich aber noch ein kleiner Rechenfehler eingeschlichen: Der Doppelbruch

\frac {\frac{1}{x \cdot ln x}} {\frac{1}{x}}

ist nicht korrekt gekürzt.
Bitte verbessern, danach hast Du auch diesen Teil erledigt. Freude

20.12.2013, 21:01

Count von Count

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RE: Grenzwertberechnung von Logarithmus- und Exponentialfunktionen
'tschuldigung,
hab noch ein paar Probleme mit dem Editor, speziell latex.
Möge der Doppelbruch jetzt lesbar sein (hmmm.... Stoßgebet).

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac{1}{x \cdot ln x}} {\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

also, den hier bitte noch mal kürzen.

22.12.2013, 14:07

da_zodelte

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RE: Grenzwertberechnung von Logarithmus- und Exponentialfunktionen
super, vielen Dank für die super Hilfen.

Klar, Doppelbruch leichtsinnig aufgelöst....! Ergebnis ist natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(x)} \end{eqnarray*}$ . Somit ist der Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{ln(lnx)}{ln(x)} = 0 \end{eqnarray*}$

Und die gesuchte Vereinfachung (wenn es denn eine sein soll, wie du schon meintest Count von Count) leuchtet mir nun auch ein...

Nochmals vielen lieben Dank und schöne Feiertage smile

22.12.2013, 15:04

da_zodelte

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RE: Grenzwertberechnung von Logarithmus- und Exponentialfunktionen
Ich hoff, das ist hier jetzt kein Forenregelverstoß, und verweise mal auf eine weitere Frage meinerseits:

Grenzwertberechnung: Temperatur (bei Molwärme eines Gases)

Grenzwertberechnung der Molwärme eines zweiatomigen Gases. Kann man dies ebenfalls mit der Regel nach l'Hospital lösen?

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