Wichtiger Grenzwert

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Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »
Wichtiger Grenzwert
Bin gerade zufälligerweise über folgendes gestoßen:



Versuche gerade zu verstehen warum das so ist. Hab erst mal die Wurzel umgeformt:



Und nun; da beide n's "gleich schnell" gegen unendlich laufen hat man ja einen Ausdruck in der Art



Jede Zahl hoch Null ergibt zwar 1, aber da "unendlich" keine richtige Zahl ist wollte ich lieber noch mal nachfragen (bin da immer etwas vorsichtig mit "unendlich") wie es hier konkret aussieht.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du kannst hier die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel verwenden:

Schreibe um:

Damit bekommst du eine Abschätzung nach oben.
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Damit bekommst du eine Abschätzung nach oben.


Hab geschaut was du damit meinst, aber das sagt mir jetzt nicht viel.

Wieso ist 1 * ... * 1 = n - 2? verwirrt
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die 1 kommt (n-2)-mal als Faktor vor.
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieso n-2 mal? Wo kommt die 2 auf einmal her? Sorry, wenn ich so blöd frage..
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lautet denn die Ungleichung? Wieviele Faktoren benötigen wir unter der Wurzel?
 
 
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ungleichung lautet:



Benötigt werden doch n Faktoren?
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:




Und wieviele stehen hier unter der Wurzel?
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man die verschiedenen Einsen nur als ein einziges "n" zählt, dann 2?

Oder auch n-Stück. Bin ich mir nicht sicher..

Edit: Ich tendiere auch hier zu n Faktoren..
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte was?! Es stehen doch n Faktoren unter der "äußeren" Wurzel: Die zwei Wurzeln und die n-2 Einsen.
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, da schon zwei mal da steht ist es n - 2. Okay das hab ich dann verstanden (das hättest du aber auch sofort sagen können verwirrt ).

Und nun, wie gehts weiter mit der Abschätzung? (war ja eigentlich Guppis Thread, aber er scheint gerade nicht on zu sein)

Eine kleine Anmerkung noch; hab keine Ahnung wie man so etwas abschätzt, hab eigentlich nur gefragt weil mich das interessiert hat.
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Edit gelesen. Da wir nun n Faktoren haben, können wir die Ungleichung anwenden. Wie lautet also eine obere Schranke? Und wogegen konvergiert sie?
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Falls meine Hilfe nicht erwünscht ist, kann ich den Thread auch jemand anderem überlassen.
Thilo87 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es mit der Begründung



ln(n)/n geht gegen 0, da der ln(n) langsamer wächst als n.
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, jede Hilfe ist erwünscht, nicht falsch verstehen. Hab das nur erwähnt wegen dem allgemeinen Prinzip hier bei matheboard.

Edit: Inhaltlich kümmere ich mich gleich drum..

@Donquixote:

Woher soll ich denn wissen welche obere Schranke es dort gibt? verwirrt
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thilo87
Wie wäre es mit der Begründung



ln(n)/n geht gegen 0, da der ln(n) langsamer wächst als n.


Wie wäre es beim von Guppi vorgeschlagenen Weg zu bleiben?
Soll das Ganze nämlich wirklich stichhaltig bewiesen werden, dann ist der nicht nur wesentlich elementarer sondern auch kürzer!
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Dem kann ich nur zustimmen, andere Rechenwege kann ich mir gerne anschauen nachdem ich erst mal überhaupt einen verstanden hab...

Zurück zu der Abschätzung. Augenzwinkern
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schätze doch jetzt auch mal ab Augenzwinkern
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja das Problem; wie soll ich das anstellen (hab mir nochmal den gesamten Verlauf durchgelesen... bin ratlos)?
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben

Zitat:




und wissen

Zitat:






Das kannst du aber doch mit Sicherheit verknüpfen?
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Ist jetzt reine Vermutung, weil ich so was noch nie zuvor gemacht habe, aber ist vielleicht



eine obere Schranke, die für gegen 0 konvergiert?

Hab das Gefühl, dass die obere Schranke noch nicht so ganz stimmt... verwirrt
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Für x_1,...,n sind konkrete Werte. Einsetzen!
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wie wäre es mit:



Da der Nenner schneller gegen läuft als der Zähler konvergiert der gesamte Ausdruck gegen 0?
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kimyaci
Okay, wie wäre es mit:



So weit - so gut! Warum vereinfachst Du den Term jetzt nicht weiter?

Zitat:
Original von Kimyaci
Da der Nenner schneller gegen läuft als der Zähler konvergiert der gesamte Ausdruck gegen 0?

Das ist eine ziemlich substanzfreie Phrase, die i.d.R. nichts als ein Beleg ziemlicher Ahnungslosigkeit ist.
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das ist eine ziemlich substanzfreie Phrase, die i.d.R. nichts als ein Beleg ziemlicher Ahnungslosigkeit ist.


Ja, ehm, sorry..

Nun denn:







Soweit okay? Falls das stimmt würde ich jetzt n im Zähler ausklammern... verwirrt

Edit: Wenn ich dann n ausklammere:







Für erhalte ich dann 1.

Also vom Ergebnis her passt es doch?
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Geht doch!
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Freude
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Wir benötigen noch für die Aussage
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso das denn? Mir ists lieber, wenn der Thread jetzt zuende ist, weil ich keine Ahnung hab wie das noch weiter funktionieren soll - dann wird das hier wahrscheinlich noch 'n 5-Seiten Thread, das wollen wir doch nicht.

Wink
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Also lieber eine unvollständige Lösung haben als ein wenig mehr Zeit und Aufwand für die Aufgabe investieren? Naja, mir ists recht.
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ich würde eigentlich gerne weiter machen, aber ich hab mir fürs Erste vorgenommen meine Posts im Hochschulbereich stark zu reduzieren,weil mir einfach elementare Grundlagen fehlen. Die sollte ich vorerst nachholen bevor ich mich an Aufgaben versuche.

Muss mich an die Umstellung von der Schulmathematik zu der "Hochschulmathematik" noch etwas gewöhnen, wobei ich mich inhaltlich eigentlich immer irgendwo dazwischen bewege. Hilfe zur Selbsthilfe funktioniert halt nur, wenn diejenige Person auch etwas Vorahnung mitbringt. Sonst entstehen so Katastrophenthreads wie dieser hier (finde ich jedenfalls, da ich nur unnötig Zeit der Helfer vergeudet habe)..

Im Übrigen war das keine eigentliche "Aufgabe" die ich mir vorgenommen hatte,sondern hab mich nur aus Interesse gefragt wieso der Grenzwert gerade so ist wie er ist (hatte mit einer Ein-Satz-Antwort gerechnet).

Zum Inhaltlichen: Keine Ahnung warum da noch die Aussage fehlt.
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verweise auf das sog. "Sandwich-Lemma".
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kimyaci

Im Übrigen war das keine eigentliche "Aufgabe" die ich mir vorgenommen hatte,sondern hab mich nur aus Interesse gefragt wieso der Grenzwert gerade so ist wie er ist (hatte mit einer Ein-Satz-Antwort gerechnet).

Ja, mit einer Ein-Satz-Antwort darfst du nicht rechnen. Die Zeiten sind vorbei.

Hilfe zur Selbsthilfe ist schon das Motto, nur gehört auch dazu auch ein gutes Gespür des ( der Antwortenden ) dazu, wieviel Hilfe passend ist.
Nicht jeder hat das.
Wenn es aber so ist, dass der Fragesteller erkennen lässt, dass die Lücken zu groß sind, eine gewisse Resignation eintritt.
Alle Lücken lassen sich dann nicht im Thread schließen.

Mein Rat: wenn es zu langatmig wird, den Thread abbrechen, sich neu konzentrieren und dann gezielt nur auf ein Detail in einem neuen Thread eingehen.
Das gibt frischen Wind smile
Hier: Überlege dir mal die n-te Wurzel aus n und was könnte der Hinweis auf das "Sandwich-Lemma" bedeuten.
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, danke für den Motivationsschub Dopap. Augenzwinkern

Sandwich Theorem:

Sei ein Intervall mit einem Wert a. Seien f, g und h definierte Funktionen im Intervall .

Falls für jedes gilt:



und außerdem



Dann gilt auch:



Nun, wenn ich das richtig verstanden habe: Gesucht ist gerade der Grenzwert der Funktion , die Abschätzung nach oben wäre schon mal erledigt: , dessen Grenzwert ja gerade 1 war.

Fehlt nur noch das g(x), dessen Grenzwert auch 1 sein sollte, wenn das der Fall ist habe ich gezeigt, dass



ist.

Jetzt bin ich mir nicht ganz sicher,aber ist ?

Wenn ja, dann ist der Grenzwert auch einfach bestimmt:



Aber woher weiß man denn, dass g(x) = 1 ist? Am anderen Grenzwert orientiert könnte ich ja auf die Idee kommen, dass der Grenzwert der Funktion g(x) gerade 1 sein sollte... aber wieso ist die Funktion selbst ebenfalls 1? verwirrt
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Hier geht es um Folgen, nicht um Funktionen!
Seien a_n, b_n und c_n Folgen mit a_n<=b_n<=c_n für alle n>=N und lim a_n=lim c_n=a. Dann gilt auch lim b_n=a.
Wir haben bisher eine Folge c_n mit lim c_n=1 gefunden, und wenn wir zeigen können, dass die konstante Folge a_n=1 eine untere Schranke von der n-ten Wurzel aus n (dies entspricht b_n) ist, können wir schließen, dass lim b_n=1, weil lim a_n=1.
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, sorry.

Was gibt es denn da noch großartig zu zeigen?



Und daraus folgt dann .

Also sind wir hiermit nun fertig?
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Was gezeigt werden muss ist , sonst greift das Lemma nicht.
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Mit völlständiger Induktion? Sonst fällt mir kein anderer Weg ein das zu zeigen (außer stures einsetzen vielleicht)...
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Beide Seiten mit n potenzieren?
Kimyaci Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut dann wird daraus;



Also wenn man in den Ausdruck einsetzt stimmt die Aussage, aber das kanns doch nicht sein oder?
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