Zeilen-Stufenform

20.12.2013, 13:41

tasmin7

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Zeilen-Stufenform

Meine Frage:
Hallo!
Wir hatten heute in der Vorlesung die Zeilen-Stufenform und ich bin mir nicht sicher, ob ich das richtig verstanden habe.
Ich habe die erweiterte Koeffizienten-Matrix
$\begin{eqnarray*} (A|b) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 & 1\\ 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und wenn ich das richtig verstanden habe, soll ich das doch so umformulieren, dass ich am Ende die Form
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & * & * & *\\ 0 & 1 & * & * \\ 0 & 0 & 1 & * \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
erhalte, oder?

Meine Ideen:
irgendwie bekomme ich das in der dritten zeile nie so hin. Gibt es einen Trick oder so?

20.12.2013, 14:21

Gast11022013

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Ich gehe bei solchen Umformungen eigentlich immer gleich vor, außer ich sehe direkt, dass eine andere Vorgehensweise leichter ist.

Ich nehme eigentlich immer die erste Zeile und erzeuge damit nun in der zweiten und dritten Zeile an der ersten Stelle die Null. In diesem Fall wäre das also

I-II
I-III

hat hier den eleganten Nebeneffekt, dass in der dritten Zeile an zweiter Stelle auch direkt die Null entsteht, was wir ja gerade erreichen wollen. Sowas ist zum Beispiel etwas was ich oben mit "leichter" meinte. Wenn man sowas aber nicht direkt sieht, dann kann man eigentlich immer nach einem gewissen Schema F vorgehen, weil es dadurch dann nicht unbedingt schneller gelöst wird.

Hätten wir jetzt einen Fall, wo in der dritten Zeile an der gewünschten Stelle nicht direkt die Null entsteht, dann nimmst du nun die zweite Zeile und bringst damit die dritte Zeile an der gewünschten Stelle auf Null.

Das musst du machen, weil wenn du es wieder mit der ersten Zeile umformst, du zwar an der zweiten Stelle eine Null bekommst, aber da der erste Eintrag der ersten Zeile von Null verschieden ist (normalerweise, muss natürlich nicht immer so sein) würdest du die Null in an erster Stelle der dritten Zeile wieder verschwinden lassen weshalb dann die erste Umformung "sinnlos" war.

Hoffe das war einigermaßen verständlich.

Das ist dann eigentlich immer so, dass du im ersten Schritt die erste Zeile nimmst und in den übrigen Zeilen an erster Stelle die Null erzeugst.
Danach nimmst du die zweite Zeile und erzeugst in allen Zeilen unter dieser die Nullen an zweiter Stelle.
Jetzt würdest du die dritte Zeile nehmen und mit ihr alle weiteren Zeilen an dritter Stelle auf Null bringen usw.

20.12.2013, 16:43

tasmin7

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hallo,
danke für deine Antwort.
Jetzt habe ich das so gemacht, wie du das gesagt hast, also
I-II und I-III
und habe raus
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 & 1\\ 0 & -1 & -3 & -1\\ 0 & 0 & -6 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber das ist doch keine Zeilen-Stufenform, oder?

20.12.2013, 16:48

Gast11022013

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Eine Zeilen-Stufenform in dem Sinne kannst du hier nicht erzeugen, da du eine (3x4) Matrix hast.

20.12.2013, 17:32

tasmin7

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aber ich habe eine Aufgabenstellung, die sagt:
Bestimmen sie die erweiterte Koeffizienten-Matrix (habe ich ja da oben gemacht) und bringe diese auf Zeilen-Stufenform!
Demnach muss das doch irgendwie zu machen sein....

20.12.2013, 17:41

Gast11022013

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RE: Zeilen-Stufenform
Achso, okay.
Das was du oben angegeben hast war für mich nicht als erweiterte Koeffizientenmatrix ersichtlich, weil dieser Trennungsstrich fehlte. Du meinst also das:

$\begin{eqnarray*} (A|b) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 &| 1\\ 1 & 2 & -1 &| 2 \\ 1 & 1 & 2 &| 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hätte mir auch gleich auffallen können...

Für die Zeilen-Stufenform musst du natürlich nur das betrachten was vor diesem Trennungsstrich steht.

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20.12.2013, 17:47

tasmin7

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ja genau so meinte ich das auch smile

smile

aber ich dachte die ganze Zeit, dass ich b auch mit betrachten muss...
aber habe ich das richtig verstanden, dass ich aus (A) dann
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & * & *\\ 0 & 1 & *\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
machen muss?

20.12.2013, 17:53

Gast11022013

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Ja, hast du.

Du möchtest ja dieses Gleichungssystem lösen.
Mit der Zeilen-Stufenform bringst du das Gleichungssystem auf eine Form wo man es leicht lösen kann. Nun hast du wenn du es wieder nicht als Matrix schreibt ja eine Gleichung der Form:

$\begin{eqnarray*} -6x_3=-2 \end{eqnarray*}$

Und kannst dieses sehr leicht auflösen. Diesen Wert kannst du nun in der zweiten Gleichung einsetzen, welche ja

$\begin{eqnarray*} -1x_2-3x_3=-1 \end{eqnarray*}$

lautet, und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Nun hast du $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ und machst das gleiche für die erste Gleichung und berechnest $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ .

Du kannst natürlich auch die schreibweise als Matrix beibehalten und so das Gleichungssystem lösen.

20.12.2013, 18:02

tasmin7

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ja aber mein Problem ist ja nicht, wie ich das auflöse, sondern wie ich mein Zeilen-Stufenform aufstelle.

Weil ich habe doch
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4\\ 0 & -1 & -3\\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aber ich weiß nicht, wie ich die -1 zu 1 mache und die -6 zu 1....

20.12.2013, 18:06

Gast11022013

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Ganze einfach indem du die Zeile mit -1 und -1/6 multiplizierst.

20.12.2013, 18:11

tasmin7

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ach so, sowas geht auch??

dann ist meine Zeilen-Stufenform

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.12.2013, 18:14

Dopap

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Zitat:

Original von tasmin7
ach so, sowas geht auch??

denk dran: jede Zeile ist eine Gleichung ! Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.12.2013, 18:16

Gast11022013

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Ja.

Du sollst aber bestimmt auf diese Form kommen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &0 & 0|a \\ 0 & 1 & 0|b \\0 & 0 & 1|c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit du die Lösung des LGS direkt ablesen kannst.

20.12.2013, 18:20

tasmin7

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aber ich dachte bei der Z-SF ist es egal, was nach der 1 steht?

ansonsten könnte ich doch einfach mit den Zahlen nach "|" rechnen und hätte am Ende als Z-SF:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 &|1\\ 0 & 1 & 3&|1\\ 0 & 0 & 1 & |1/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann kann ich das ja auch ganz leicht lösen. Oder darf ich das nicht?

20.12.2013, 18:30

Gast11022013

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Ich verstehe deinen letzten Beitrag nicht so ganz.

Du hast jetzt im Prinzip zwei Mögichkeiten.
Entweder du schreibst es als "normales" Gleichungssystem, so wie ich es ein paar Beiträge vorher bereits getan habe, oder du behältst du Schreibweise als Matrix bei und formst so um, dass nur noch auf der Diagonalen Einsen stehen und du die Lösung direkt ablesen kannst.
Ersteres geht meiner Meinung nach etwas schneller.
Letzteres ist aber wohl etwas schöner.
Jedenfalls solltest du es so lösen wie ihr es in der Vorlesung gemacht habt.

Einfach nur die Zeilen-Stufenform zu erzeugen löst das Gleichungssystem natürlich nicht.

20.12.2013, 18:33

tasmin7

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aber die Aufgabenstellung sagt doch, dass die erweiterte Koeffizientenmatirx in eine Z-SF umrechnen soll.
habe ich dann nicht

$\begin{eqnarray*} (A|b) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 &| 1\\ 1 & 2 & -1 &| 2 \\ 1 & 1 & 2 &| 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -4 &|1\\ 0 & 1 & 3&|1\\ 0 & 0 & 1 & |1/3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wobei die erste Form meine erweiterte Koeffizientenmatrix ist und die zweite Form meine Z-SF?

20.12.2013, 18:35

Gast11022013

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Die original Aufgabenstellung hast du ja nicht angegeben, so wie ich das sehe.
Wann du fertig bist kann ich dir also nicht genau sagen, aber wenn es stimmt was du sagst, dann solltest du tatsächlich fertig sein.

Das kann ich mir aber ehrlich gesagt nicht wirklich vorstellen, dass man dieses LGS nicht komplett lösen soll.

20.12.2013, 18:45

tasmin7

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Zitat:

Original von tasmin7
Bestimmen sie die erweiterte Koeffizienten-Matrix (habe ich ja da oben gemacht) und bringe diese auf Zeilen-Stufenform!

das ist die original-Aufgabenstellung

danach kommt noch :
"Berechne Anschließend alle Lösungen des GLS!"

Und ich dachte, mit meinen letzten Beitrag hätte ich den ersten Teil gelöst.... der zweite Teil ist ja ganz einfach aus meiner oben angegebenen Z-SF rauszufinden, nämlich
x = 7/3, y = 0, z = 1/3 und hätte auch den zweiten Teil gelöst.

Oder habe ich das falsch verstanden??

20.12.2013, 18:56

Gast11022013

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Die Zeilen-Stufenform ist ja mehr oder weniger eine Art "Abfallprodukt" wenn du das Gleichungssystem löst. Dann erhältst du diese eigentlich automatisch.

Nein, du solltest es nicht falsch verstanden haben.

Deine Ergebnisse passen.

20.12.2013, 19:51

tasmin7

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ah gut

smile

wenn das alles war, war das ja gar nicht so schwer!
Danke!

20.12.2013, 19:52

Gast11022013

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Gern geschehen.

20.12.2013, 20:53

tasmin7

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tsuldigung, ich hätte noch eine Frage:
ich habe das jetzt mal bei einer anderen Aufgabe versucht und habe das rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} (A|b) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & | 3\\ -6 & 1 & 5 & 1 & | 3 \\ 2 & 3 & 5 & 3 & | 4 \\ 2 & -1 & -3 & -1 & | -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 2 & | 3\\ 0 & 1 & 17/7 & 13/7 & | 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & | 3.5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist die zweite Zeile auch ein Z-SF? Oder ist das falsch, weil in der letzten Zeile nur 0 rauskommen?

20.12.2013, 20:58

Gast11022013

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Ob man diese Form auch als Zeilen-Stufenform bezeichnet kann ich dir nicht genau beantworten, aber ich würde mal davon ausgehen.

20.12.2013, 21:51

tasmin7

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wie bekomme ich hier die Lösung raus?
also nach der Z-SF habe ich ja
für Ax=b
$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,5-z \\ -5,5+3z \\ 3,5-2z \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
aber wenn ich das in die jeweiligen Gleichung einsetzte, kommt da jeweils was unterschiedliches raus:

bei der ersten Gleichung: $\begin{eqnarray*} z = x_4 = 0,6 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x_1 = 9/10, x_2 = -37/10, x_3 = 23/10 \end{eqnarray*}$
bei der zweiten Gleichung: $\begin{eqnarray*} z = x_4 = 0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x_ 1 =1,5 , x_2 = -5,5, x_3 = 3,5 \end{eqnarray*}$
bei der dritten Gleichung: 7 = 4, was irgendwie nicht stimmen kann...
bei der vierten Gleichung: -2=-2, was mir leider nix sagt...

Was also ist meine Lösung??

20.12.2013, 22:47

Gast11022013

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Dieses LGS hat unendlich viele Lösungen. Diese hängen vom Parameter z ab. Je nachdem wie du diesen wählst erhältst du eine andere Lösung.

Was du bei der ersten und zweiten Gleichung machst kann ich nachvollziehen, aber was machst du mit den Gleichungen drei und vier? Und warum machst du das?
Wieso gerade mit den Werten 0.6, 0, 7 und -2.

20.12.2013, 22:56

tasmin7

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also ich hatte ja x raus. und da x ja von der variable z abhängig ist, habe ich mir schon gedacht, dass das ganze unendlich viele Lösungen hat.
aber in der Vorlesung wurde tausendmal gesagt, dass wir das in die Anfangsgleichungen als Kontrolle einsetzen sollen.

Also wollte ich x in $\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + 2 x_3 + 3 x_4 = 3 \end{eqnarray*}$ , in $\begin{eqnarray*} -6 x_1 + x_2 + 5 x_3 + x_4 = 3 \end{eqnarray*}$ usw einsetzen.
Ich hatte eigentlich erwartet, dass in der ersten Gleichung 3=3 oder so ähnliches rauskommt. Da hatte ich aber aus irgendeinen Grund z = 0.6 = x_4 raus. Und wenn ich das in x einsetze, hatte ich dann x_1, x_2 und x_3. Als ich diese Zahlen in die anderen Gleichungen eingesetzt habe, waren die Gleichungen erfüllt (logisch)...

Dann habe ich x in die zweite Gleichung eingesetzt, und da kam auf einmal z=0=x_4 raus....

20.12.2013, 23:08

Gast11022013

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In der ersten Gleichung sind es $\begin{eqnarray*} 2x_4 \end{eqnarray*}$

Eigentlich sollte einsetzen in die letzte Gleichung reichen um dies zu prüfen.
Die erste Gleichung sollte eigentlich immer ein richtiges Ergebnis liefern. Da du diese als letztes berechnest wird hier kein Fehler auftreten, außer du hast dich ohnehin jetzt im letzten Schritt verrechnet, denn das $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ wird ja gerade so gewählt, dass diese Gleichung aufgeht, wenn du $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ einsetzt.

Wenn dir ein Fehler unterlaufen ist, dann merkst du es am ehesten in der letzten Gleichung.

Ich habe übrigens unabhängig von dir die selben Lösungen erhalten.

20.12.2013, 23:40

tasmin7

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ja das mit $\begin{eqnarray*} 3x_4 \end{eqnarray*}$ war nur ein Tippfehler. Ich habe mit $\begin{eqnarray*} 2x_4 \end{eqnarray*}$ gerechnet

Wie kommt es aber, dass ich bei den Gleichungen immer was anderes rauskommt.....?

20.12.2013, 23:44

Gast11022013

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Du musst dich irgendwie verrechnen.
Ohne Rechenweg kann ich dir nicht sagen wo der Fehler auftritt. Am besten rechnest du einfach noch einmal nach und achte darauf, dass du im Gleichungssystem nicht in den Zeilen verrutscht, oder dir ein unnötiger Vorzeichenfehler passiert.

20.12.2013, 23:53

tasmin7

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aber meine Lösung
$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,5-z \\ -5,5+3z \\ 3,5-2z \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ist doch richtig, oder?

20.12.2013, 23:56

Gast11022013

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Ja, die sollte stimmen.

21.12.2013, 00:04

tasmin7

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okay jetzt habe ich auch raus, das waren einfach richtig dumme dumme Fehler... unglücklich

unglücklich

so was darf in einer Klausur echt nicht passieren.....

Wenn die Aufgabenstellung sagt:
"Bestimme alle Lösungen $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ des linearen GLS Ax=b"
wie habe ich die Antwort zu schreiben?

Ist dann die Antwort:

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,5-z \\ -5,5+3z \\ 3,5-2z \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ausreichend richtig?

21.12.2013, 00:08

Gast11022013

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Ich würde sagen schon.
Vielleicht noch dazu schreiben, dass es unendlich viele sind.

21.12.2013, 00:12

tasmin7

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alles klar!
Vielen vielen dank noch mal für deine Hilfe!

21.12.2013, 00:13

Gast11022013

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Gern geschehen. Wink

Wink

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