Vergleich verschiedener Vektorraeume

26.12.2013, 19:56

Imani

Vergleich verschiedener Vektorraeume

Hallo,

ich habe eine wohl ziemlich banale Frage zu Vektorraeumen.

Es gibt den Vektorraum der Polynome ueber den reellen Zahlen, den Vektorraum der stetigen Funktionen ueber den reellen Zahlen und viele weitere.

Frage:
Wie nennt man eigentlich die "normalen" Vektorraeume damit meine ich die Vektorraeume, die nur Einheitsvektoren enthalten?

Ich meine Folgendes:

Dieses Ding heisst Vektorraum der 2-Gradigen Polynome.
$\begin{eqnarray*} 4x^{2}+2x^{1}+2x^{0} = 4 \begin{pmatrix} x^{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 0 \\ x^{1} \\ 0 \end{pmatrix}+ 7 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ x^{0} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie heisst dieses Ding?
$\begin{eqnarray*} 4\vec{e}_{x}+2\vec{e}_{y}+2\vec{e}_{z} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ 7 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nennt man den Vektorraum der "Einheitsvektoren" einfach Standart-Vektorraum?
Ich habe in diesem Zusammenhang oft den Begriff euklidischer Vektorraum gehoert, aber dies ist ja ein allgemeinerer Begriff fuer einen Vektorraum mit Skalarprodukt.

Vielen Dank fuer eure Antworten schon jetzt
Imani

26.12.2013, 20:33

Iorek

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RE: Vergleich verschiedener Vektorraeume

Zitat:

Original von Imani
Nennt man den Vektorraum der "Einheitsvektoren" einfach Standart-Vektorraum?

Wenn überhaupt, dann wäre das der StandarDraum. Und dieser würde nicht nur Einheitsvektoren enthalten,. Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit Norm 1 (womit wir wieder normierte Räume betrachten würden, also Zusatzanforderungen stellen müssten).

Für einen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} \mathbb K^n=\mathbb K^{n\times 1} \end{eqnarray*}$ der Spaltenraum, Koordinatenraum oder eben auch Standardraum (über $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ der Dimension $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ). Je nach Dozent kann das auch mal der Zeilenraum $\begin{eqnarray*} \mathbb K^{1\times n} \end{eqnarray*}$ sein. Den Begriff Standardraum kann man aber auch durchaus verwenden, sofern man sich über Spalten/Zeilen im Vorfeld einig geworden ist.

26.12.2013, 21:47

Che Netzer

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RE: Vergleich verschiedener Vektorraeume

Zitat:

Original von Imani
Dieses Ding heisst Vektorraum der 2-Gradigen Polynome.
$\begin{eqnarray*} 4x^{2}+2x^{1}+2x^{0} = 4 \begin{pmatrix} x^{2} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 0 \\ x^{1} \\ 0 \end{pmatrix}+ 7 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ x^{0} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.12.2013, 08:39

Imani

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Hallo Che,

verwirrt

auch.

Meine Idee dabei war, dass ich jedem Monom einen Basisvektor zuweise.
Was haelst du davon- ist dies falsch, oder einfach nicht sehr sinnvoll.

Danke fuer alle Antworten.
Imani

27.12.2013, 11:08

Che Netzer

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Zunächst einmal wurde die Zwei zur Sieben (nur ein unbedeutender Tippfehler).

Dann aber sind Monome bereits Basisvektoren.
Du könntest höchstens Koordinatenvektoren aufstellen, so dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}4\\2\\7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 4x^2+2x+7 \end{eqnarray*}$ steht.
Dann kannst du aber trotzdem kein Gleichheitszeichen schreiben. Ein Vektor ist nicht gleich seinem Koordinatenvektor, er wird nur bezüglich einer bestimmten Basis (!) durch ihn repräsentiert. Zwei verschiedene Basen können zwei verschiedene Koordinatenvektoren liefern.
Und außerdem haben die Monome nichts mehr in den Koeffizienten des Vektors zu suchen. Was wäre denn in deiner Notation so etwas wie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

27.12.2013, 11:33

Imani

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Hallo Che,

vielen Dank fuer deine Antwort!.

ich weise also jedem Monom einen Einheitsvektor zu.

$\begin{eqnarray*} x^{2} \rightarrow \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}, x^{1} \rightarrow \begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}, x^{0} \rightarrow \begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Darum gilt:
$\begin{eqnarray*} 4x^{2} + 2x +7 = \begin{pmatrix} 4\\2\\7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So wirds wohl passen.

Danke
Imani

27.12.2013, 13:22

Che Netzer

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Zitat:

Original von Imani
$\begin{eqnarray*} x^{2} \rightarrow \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}, x^{1} \rightarrow \begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}, x^{0} \rightarrow \begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wobei die Pfeile hier noch zu erklären wären.

Zitat:

Darum gilt:
$\begin{eqnarray*} 4x^{2} + 2x +7 = \begin{pmatrix} 4\\2\\7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das geht wie gesagt nicht so einfach.
Links steht ein Polynom; rechts ein Vektor aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .
Die beiden Objekte sind nicht gleich; das rechte ist nur der Koordinatenvektor des Polynoms bezüglich der oben gewählten Basis. Anstelle des Gleichheitszeichen sollte man also lieber etwas sagen wie "wird dargestellt durch" o.ä.

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