Vektoren orthogonalisieren, logikfehler

26.12.2013, 23:43

akamanston

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Vektoren orthogonalisieren, logikfehler

Hi und frohe Weihnacht=)

ich habe ein kleines Problem mit dem Gram-Schmidt Verfahren.

In meinen bisherigen Aufgaben war es so, dass zwei beliebige Vektoren v1 und v2 (im R3!!!) gegeben waren. Naja die Vektoren waren dann doch nicht so beliebig, denn das LGS(=0) der zwei Vektoren ergab einen orthogonalen Vektor v3 und damit konnte ich dann Gram-Schmidt beginnen.

Nun habe ich eine Aufgabe mit drei Vektoren v1 v2 v3 im R3 gegeben. Nun versteh ich nicht, wie ich da ein LGS aufstellen soll um den "eigentlichen" v3 herzustellen. v3 ja bereits gegeben. Die drei Vektoren sind auch nicht von grundaus senkrecht aufeinander.
Versteht mich jemand?

26.12.2013, 23:49

Iorek

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Was für ein LGS meinst du denn? Und warum brauchst du den Vektor v3 um überhaupt mit Gram-Schmidt beginnen zu können?

Hast du hier schonmal reingeguckt? Was da mit zwei Vektoren gemacht wird, lässt sich auch problemlos auf 3 übertragen.

26.12.2013, 23:55

akamanston

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Ich soll eine Basis bilden.
Aber keine normale sondern zu U-senkrecht.

Anfangs habe ich
<v1.x>=0
<v2.x>=0
gemacht, also senkrecht gemacht. dann kam ein dritter Vektor v3 heraus. Der kam aber nur heraus weil 2 Vektoren im R2 gegeben waren. Deshalb konnte ich den passenden v3 ausrechnen, der dann auch senkrecht auf v1 und v2 liegt. Ok ab jetzt kann ich GS weitermachen, und nicht wie ich gesagt habe beginnen.

Edit1:
Ich glaube ich habe mein Fehler gefunden.

Bei Wiki steht das "ausführliche" GS-Verfahren. Mit der Formel kann ich beliebige Vektoren einsetzen.
Ich war schon in einem speziellen Fall, bei dem ich den v3 selbst duch das LGS berechnet habe. Aber im aktuellen Fall sind drei beliebige Vektoren gegeben. Ich versuche es mal=)

Edit2:
Ich habe jetzt den Weg aus Wiki angewandt und ich komme schon deutlich weiter. u1 ist auch senkrecht zu u2. Das passt schon mal. Aber bei u3 bzw natürlich bei u'3 kommt der Nullvektor heraus. Hab ich was falsch gemacht, oder hat das eine (richtige) spezielle Bedeutung? Ist die Orthogonalbasis somit nur OGB= {u1,u2} ??

27.12.2013, 12:51

Iorek

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Da du jegliche Werte für $\begin{eqnarray*} u_1,u_2,u_3 \end{eqnarray*}$ und deine Rechnungen nicht angibst, kann da keiner was zu sagen.

27.12.2013, 13:32

akamanston

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Eigentlich habe ich gehofft, dass man durch den Text meine Fehler erkennt. Aber ich kann es auch aufschreiben.

Gegeben ist der lin Unterraum U= span( (1,0,1),(2,2,1),(0,-2,1) )
Bestimme eine Basis für $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} u_{1} =\frac{\ 1 }{\sqrt{2} } \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
dann habe ich mit GS u2' erstmal ausgerechnet und dann normiert, sodass $\begin{eqnarray*} u_{2} =\frac{\sqrt{2} }{6} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und wenn ich nun u3' ausrechne kommt 0 heraus. Das finde ich komisch. Oder hat das eine bestimmte Bedeutung?

27.12.2013, 14:33

klarsoweit

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Offensichtlich sind deine Vektoren linear abhängig: (2,2,1) = 2 * (1,0,1) - (0,-2,1) Augenzwinkern

Augenzwinkern

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27.12.2013, 16:49

akamanston

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hi,
und was bedeutet das für mich, wenn die Vektoren lin. abhängig sind?

27.12.2013, 19:20

klarsoweit

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Falls du mal in deinen Unterlagen schaust, dann solltest du dort finden, daß das Gram-Schmidt-Verfahren nur für eine Familie von linear unabhängigen Vektoren funktioniert. smile

smile

28.12.2013, 13:42

akamanston

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Hi,
ok, ich sehs Big Laugh

Big Laugh

Die Aufgabe ist aaber dann voll unfair gestellt, wenn man da die bisherigen Erkenntnisse nicht anwenden kann. Wie bilde ich denn sonst eine Basis zu U perp.

28.12.2013, 16:21

Iorek

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Zitat:

Original von akamanston
Die Aufgabe ist aaber dann voll unfair gestellt, wenn man da die bisherigen Erkenntnisse nicht anwenden kann.

Natürlich ist es unfair, bei einer Aufgabe zum Gram-Schmidtverfahren elementares Wissen zu den Begriffen Erzeugendensystem und Basis vorauszusetzen... unglücklich

unglücklich

Zunächst einmal könntest du also eine Basis für $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ bestimmen, du hast schließlich nur ein Erzeugendensystem gegeben. Dann kannst du daraus eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ berechnen, das geht mit Gram-Schmidt. Was du damit alleine dann anstellen willst, weiß ich auch nicht, schließlich suchen wir eigentlich eine Basis von $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ . Dafür solltest du dir in Erinnerung rufen, dass für einen (euklidischen) Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathcal V \end{eqnarray*}$ und einen Unterraum $\begin{eqnarray*} \mathcal U\leq \mathcal V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \mathcal U\oplus \mathcal U^\perp=\mathcal V \end{eqnarray*}$ .

28.12.2013, 16:49

akamanston

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RE: Vektoren orthogonalisieren, logikfehler
Ich habe fast keine Ahnung was du schreibst. Das ist mir alles neu.
Die drei Vektoren bilden ja eine Basis, wenn sie linear unabhängig sind. Aber meine drei sind ja linear abhängig wie klarsoweit erkannt hat. Sind meine Vektoren u1 und u2 schon eine Basis? Müssten das nicht drei Vektoren sein?

28.12.2013, 16:56

Iorek

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Welche drei (linear) unabhängigen Vektoren sollen eine Basis von welchem Raum bilden? Du solltest dich unbedingt genauer ausdrücken, so entstehen sehr schnell Missverständnisse was gemeint ist.

Bevor du dich weiter mit dieser Aufgabe zu Gram-Schmidt beschäftigst, solltest du dann nochmal die Begriffe Erzeugendensystem und Basis nacharbeiten. Deine Frage, ob die Basis nicht unbedingt drei Vektoren enthalten muss deutet darauf hin, dass du da elementare Lücken hast. Auch eine Möglichkeit aus einem Erzeugendensystem eine Basis zu filtern, solltet ihr gehabt haben (Stichwort: Gauß).

28.12.2013, 17:08

akamanston

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Nach meiner Definition im Skript müssen zwei Bedingungen erfüllt sein.
(i) U =span(v1 .. vn) und
(ii) v1 ... vn lin unabhängig

Lösung von dem LGS mit den drei Vektoren wäre. (x,y,z) = a(-2,1,1). Das musss wohl die Basis sein. Was anderes geht ja gar nicht.

28.12.2013, 17:15

Iorek

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Zitat:

Original von akamanston
Lösung von dem LGS mit den drei Vektoren wäre. (x,y,z) = a(-2,1,1). Das musss wohl die Basis sein. Was anderes geht ja gar nicht.

Auch wenn ich mich wiederhole: welche Lösung von welchem LGS mit welchen drei Vektoren und was muss denn nun die Basis sein? Und was sollen $\begin{eqnarray*} a,x,y,z \end{eqnarray*}$ sein?Und wo kommt (-2,1,1) her? Wenn du dich nicht genau ausdrückst, kann man nur raten was du meinst!

"(x,y,z) = a(-2,1,1)" ist bestimmt keine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . Du hast ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gegeben, $\begin{eqnarray*} U=\operatorname{span}\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ und wir haben bereits festgestellt, dass diese Vektoren nicht linear unabhängig sind, also keine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ bilden. Nutze jetzt den Gaußalgorithmus um den bzw. die linear abhängigen Vektoren rauszuschmeißen.

28.12.2013, 17:24

akamanston

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Gibt es denn da so viele Möglichkeiten? Ich habe genau das gemacht was du wollstest
Ein LGS mit den drei Vektoren aufgestellt. In Zeilenstufenform umgeformt. Hier entsteht eine Nullzeile. Also eine freie Variable. Die heißt bei mir nicht wie üblich lambda sondern einfach a. und da entsteht dann der Vektor. Aber anscheinend muss ich gar nicht so weit gehen?!
Beim Gauß kommt folgendes herauss.
1 2 0
0 -1 1
0 0 0
--> (x,y,z,)=a(-2,1.1)

und was du mit rausschmeißen meinst weiß ich nicht

28.12.2013, 17:31

Iorek

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Du musst hier eigentlich gar kein Gleichungssystem lösen. Habt ihr noch nie zu einem gegebenen Erzeugendensystem eine Basis bestimmt? geschockt

geschockt

Du schreibst dir die Vektoren des Erzeugendensystems (zeilenweise) in eine Matrix, bringst das auf strikte Zeilenstufenform und schmeißt alle Nullzeilen die entstehen raus. Die übrigen Zeilen bilden dann (jeweils als Vektor geschrieben) eine Basis.

28.12.2013, 17:43

akamanston

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aha

Big Laugh

seh ich zum ersten mal.

also wäre die Basis von U: B= {(1,0,1),(0,-2,1)} aber wir sind noch lange nicht fertig-.-

Jetzt normiere ich einen Vektor und beginne dann GS um noch den zweiten Vektor herauszubekommen. Das wäre dann die Orthonormalbasis, wie du bereits geschrieben hast

28.12.2013, 17:45

Iorek

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Zitat:

Original von akamanston
aha Big Laugh

Big Laugh

seh ich zum ersten mal.

Dann solltest du diese Grundlagen schnellstmöglich wiederholen. Du kannst jetzt zunächst eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ bestimmen und diese dann verwenden, um eine Orthonormalbasis von $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Dabei hilft der erwähnte Zusammenhang $\begin{eqnarray*} U\oplus U^\perp=V \end{eqnarray*}$ .

01.01.2014, 03:51

akamanston

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HI,

also ich habe jetzt die Orthonormalbasis mal berechnet.

$\begin{eqnarray*} ONB(U)=\left\{ u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, u_{2}=\frac{\sqrt{2} }{6} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

damit bin ich einverstanden Big Laugh

Big Laugh

Das mit deinem euklid oder so hatten wir nicht. Ich weiß nicht was das ist.
Wenn ich mich an anderen Aufgaben orientiere dann müsste ich nun nun einen dritten Vektor finden(weil wir im R3 sind und v1 und v2 gegeben sind) finden der orthogonal auf v1 und v2 liegt.
Das ist ja kein Ding. Den Vektor finde ich, indem ich das LGS
<v1.x>=0
<v2.x>=0
löse. Herauskommen würde v3, mit dem ich erneut Gram-Schmidt beginnen kann.

Aber wofür habe ich nun die ONB gebildet?

01.01.2014, 10:40

riwe

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Zitat:

Original von akamanston
HI,

also ich habe jetzt die Orthonormalbasis mal berechnet.

$\begin{eqnarray*} ONB(U)=\left\{ u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, u_{2}=\frac{\sqrt{2} }{6} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

damit bin ich einverstanden Big Laugh

Big Laugh

Das mit deinem euklid oder so hatten wir nicht. Ich weiß nicht was das ist.
Wenn ich mich an anderen Aufgaben orientiere dann müsste ich nun nun einen dritten Vektor finden(weil wir im R3 sind und v1 und v2 gegeben sind) finden der orthogonal auf v1 und v2 liegt.
Das ist ja kein Ding. Den Vektor finde ich, indem ich das LGS
<v1.x>=0
<v2.x>=0
löse. Herauskommen würde v3, mit dem ich erneut Gram-Schmidt beginnen kann.

Aber wofür habe ich nun die ONB gebildet?

wenn eine orthonormalbasis eine von zueinander orthogonalen vektoren sein soll, hätte ich so meine bedenken

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