Multiplikation von Vektoren

28.12.2013, 00:58

Kimyaci

Multiplikation von Vektoren

Hatte in der Schule keine Vektorrechnung, deswegen habe ich da noch einige Probleme mit. Ein grundsätzliches Verständnisproblem meinerseits; wann weiß ich ob zwei Vektoren miteinander multipliziert ein Skalar oder einen neuen Vektor ergeben?

Zum Beispiel bei physikalischen Formeln, mal ist es das Skalarprodukt, mal das Vektorprodukt. Gibt es da irgendwelche Merkmale sich das logisch herzuleiten welches von beiden wann verwendet wird?

Meine Hauptfrage ist eigentlich wie das Skalarprodukt zustande kommt:

$\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = ab \ \cos \psi \end{eqnarray*}$

Hab dazu mal ein kleines Bildchen gefunden:

[attach]32476[/attach]

Die einzelnen Größen sind mir bekannt, nur weiß ich halt nicht wieso die Formel gerade so ist wie sie ist.. die linke Seite ist klar.

28.12.2013, 08:59

MathLee

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Die Definition des Skalarproduktes lässt sich ganz einfach von der Physik herleiten.
Du hast bestimmt schon mal von der Formel $\begin{eqnarray*} W \ = \ F_s \cdot s \end{eqnarray*}$ (Weg = Kraft in Wegrichtung * Weglänge) gehört.
Im Anhang habe ich ein kleines Bildchen, um das zu verdeutlich.
$\begin{eqnarray*} F_s \end{eqnarray*}$ lässt sich im rechtwinkligen Dreieck mithilfe des Kosinus darfstellen als $\begin{eqnarray*} | \vec{F} | \cdot cos( \gamma ) \end{eqnarray*}$ und s lässt sich darfstellen als $\begin{eqnarray*} | \vec{s} | \end{eqnarray*}$ .
Dies führt zur Formel:
$\begin{eqnarray*} W \ = \ F_s \cdot s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} W \ = \ | \vec{F} | \cdot cos( \gamma ) \cdot | \vec{s} | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} W \ = \ | \vec{F} | \cdot | \vec{s} | \cdot cos( \gamma ) \end{eqnarray*}$
Das Ergebnis dieses Produktes ist die Arbeit W, die kein Vektor, sondern eine reine Zahlengröße ist.
In der Physik bezeichnet man eine Zahlengröße auch als Skalar und deshalb nennt man das Produkt auch Skalarprodukt der Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{F} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{s} \end{eqnarray*}$ , wofür man als Abkürzung einen "dicken Malpunkt" verwendet.

28.12.2013, 09:19

MathLee

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Hier das Beispielbild.

31.12.2013, 06:29

Kimyaci

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Zitat:

wofür man als Abkürzung einen "dicken Malpunkt" verwendet.

Hab ich noch nie was von gehört,woher hast du das?

Zum Rest: Okay.

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