Divergenz einer Folge

29.12.2013, 14:40

MatheErsti123

Divergenz einer Folge

Hallo,

ich sitze mal wieder an einer Folge und bin mir nicht sicher, ob das was ich mache, richtig ist und bräuchte deshalb euren Rat Big Laugh

Es geht um Folgendes:

Untersuchen Sie $\begin{eqnarray*} b_n=2^\frac{n}{2}*\frac{(n+i)*(1+in)}{(1+i)^n} \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.

Ich habe nun folgende Umformungen gemacht bei denen ich mir nicht sicher bin, ob die so richtig sind:

$\begin{eqnarray*} b_n=2^\frac{n}{2}*\frac{(n+i)*(1+in)}{(1+i)^n} = 2^\frac{n}{2}*\frac{i+in}{(1+i)^n}=\frac{2^\frac{n}{2}*(i+in) }{(1+i)^n}=\frac{\sqrt{2}*(i+in }{1+i}=n*\frac{\sqrt{2}*(i+\frac{i}{n}) }{1+i} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle bin ich dann davon ausgegangen, dass die Folge divergiert. Ich bin mir nicht ganz sicher ob, sie gegen + oder - unendlich geht bzw. ob überhaupt alle Umformungen richtig sind, deshalb bitte ich hier um eure Hilfe!

Vielen Dank im Vorraus

Gruß MatheErsti

29.12.2013, 14:49

mengi

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Hallo.

um ganz ehrlich zu sein:
Ich kann keine einzige deiner Umformungen nachvollziehen.

Als aller erstes:
Was ist hier i?
Ist das eine Folge in den komplexen Zahlen?

Zitat:

dass die Folge divergiert. Ich bin mir nicht ganz sicher ob, sie gegen + oder - unendlich geht bzw.

Eine divergente Folge muss nicht gegen plus oder minus unendlich gehen, siehe z.B. die divergente Folge $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$

29.12.2013, 14:55

MatheErsti123

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Also in der Aufgabenstellung steht zwar nicht ausdrücklich in welchen Zahlenbereich sich die Folge befindet. Da aber von keiner Variablen oder ähnlichem die Rede ist, bin ich von einer komplexwertigen Folge und von $\begin{eqnarray*} i=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ ausgegangen.

Edit: Mir ist gerade mein Fehler in der ersten Umformung aufgefallen. Also kann das oben alles verworfen werden und ich setze mich nochmal neu dran und melde mich dann wieder!

Vielen Dank für deine schnelle Antwort!

29.12.2013, 15:07

mengi

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Berechne mal den Zähler neu, deiner ist falsch.
Ferner ist es für die Aufgabe hilfreich $\begin{eqnarray*} (1+i)^2 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Zitat:

bin ich von einer komplexwertigen Folge und von $\begin{eqnarray*} i=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ ausgegangen

Wer erzählt denn eigentlich immer noch diesen schwachsinnigen Blödsinn von einer Pseudo-Defintion??? böse

de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

P.S. Die erste Umformung ist nicht das wirkliche Problem. Die vorletzte ist es es (dort verschwinden die Exponenten wohl magischerweise)

29.12.2013, 23:35

MatheErsti123

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So, ich habe mich nun nochmal von vorn an die Aufgabe gemacht und hoffe, dass folgende Umformungen richtig sind:

$\begin{eqnarray*} b_n=2^\frac{n}{2}*\frac{(n+i)*(1+in)}{(1+i)^n}= 2^\frac{n}{2}*\frac{n+in^2+i+i^2n}{(1+i)^n}=2^\frac{n}{2}*\frac{in^2+i}{(1+i)^n} \end{eqnarray*}$

Anschließend habe ich die n/2-te Wurzel angewandt:

$\begin{eqnarray*} 2^\frac{n}{2}*\frac{in^2+i}{(1+i)^n}=\sqrt[\frac{n}{2} ]{2^\frac{n}{2}*\frac{in^2+i}{(1+i)^n}} = \sqrt[\frac{n}{2} ]{2^\frac{n}{2}} *\frac{\sqrt[\frac{n}{2}]{in^2+i} }{(1+i)^2} =2*\frac{\sqrt[\frac{n}{2}]{in^2+i} }{2i} =\frac{\sqrt[\frac{n}{2}]{in^2+i} }{i} \end{eqnarray*}$

Sollten alle Schritte richtig sein, bin ich mir dennoch nicht sicher, inwiefern sich i in diesem Fall auf die Konvergenz/Divergenz auswirkt. Ich weiß jedoch, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[\frac{n}{2} ]{n^2} \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert. Die Frage ist nun lediglich ob i irgendwie einen Vorzeichenwechsel bewirkt und somit für Divergenz sorgt.

30.12.2013, 01:22

mengi

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Zitat:

Anschließend habe ich die n/2-te Wurzel angewandt:

Die Wurzel einer komplexen Zahl ist alles andere als eindeutig.
Das ist der wesentliche Grund dafür das die von mir oben kritisierte "Definition" so schwachsinnig ist.

Und wieso wendest du überhaupt eine Wurzel an?

Selbst wenn die Wurzel der Folge wohldefiniert wäre würdest du eine komplett andere Folge betrachten.
Die reellen Folgen $\begin{eqnarray*} a_n=n \text{ und } b_n=1/n \end{eqnarray*}$ sind divergent bzw. konvergent. Die wohldefinierten (!) Folgen $\begin{eqnarray*} \sqrt[\frac{n}{2}]{a_n} und \sqrt[\frac{n}{2}]{b_n} \end{eqnarray*}$ sind beide konvergent.
Damit ist also kein Rückschluss auf die Konvergenz oder Divergenz der ursprünglichen Folge möglich.

Zitat:

inwiefern sich i in diesem Fall auf die Konvergenz/Divergenz auswirkt.

Wie ist denn die Konvergenz/Divergenz einer komplexen Folge definiert?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2^\frac{n}{2}*\frac{in^2+i}{(1+i)^n}=\sqrt[\frac{n}{2} ]{2^\frac{n}{2}*\frac{in^2+i}{(1+i)^n}} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du drauf, dass hier Gleichheit gelten würde?

30.12.2013, 13:32

MatheErsti123

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Konvergenz in den komplexen Zahlen ist folgendermaßen definiert: Es exisitiert ein z, sodass ab einem Index N alle Folgenglieder in der Epsilonumgebung von z liegen, wobei Epsilon >0 gilt, jedoch darf Epsilon beliebig klein werden.

Bei der Annahme, dass hier
$\begin{eqnarray*} 2^\frac{n}{2}*\frac{in^2+i}{(1+i)^n}=\sqrt[\frac{n}{2} ]{2^\frac{n}{2}*\frac{in^2+i}{(1+i)^n}} \end{eqnarray*}$
Gleichheit bestünde, ging ich davon aus, dass diese Umformung erlaubt sei, weil ich gelesen hatte, dass die Wurzel ene Äquivalenzumformung sei.

Wie genau würdest du denn an diese Aufgabe rangehen? Ich glaube mein Ansatz das immer bis in die Eindeutigkeit umformen zu wollen, funktioniert irgendwie garnicht.

30.12.2013, 14:15

mengi

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Zitat:

weil ich gelesen hatte, dass die Wurzel ene Äquivalenzumformung sei.

Wurzel ziehen ist in aller Regel keine Äquivalenzumformung.
Und eine Äquivalenzumformung ist die Umformung einer Gleichung, nicht eine Gleichung selbst.
de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzumformung

Zitat:

Ich glaube mein Ansatz das immer bis in die Eindeutigkeit umformen zu wollen, funktioniert irgendwie garnicht.

Richtig, der funktioniert nicht. Was auch immer bis in die Eindeutigkeit umformen heißt.

Ist eine komplexe Folge $\begin{eqnarray*} (z_n)_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ konvergent so konvergiert auch $\begin{eqnarray*} (|z_n|)_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ .
Konvergiert eine Folge so auch jede Teilfolge.
Betrachte hier $\begin{eqnarray*} (|b_{2n}|)_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$

30.12.2013, 23:19

MatheErsti123

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Okay, nun habe ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} (|b_{2n}|)=|2^\frac{2n}{2}*\frac{(2n+i)(1+2in)}{1+i)^{2n}}| =|2^n*\frac{4in^2+i}{(1+i)^{2n}} | \end{eqnarray*}$

Nun habe ich den Nenner umgeformt:

$\begin{eqnarray*} |(1+i)^{2n}|=|(1+2i+i^2)^n|=|(2i)^n| \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} |i|=1 \end{eqnarray*}$ gilt, folgt: $\begin{eqnarray*} |(2i)^n|=2^n \end{eqnarray*}$

und somit lässt sich der Bruch folgendermaßen Kürzen:

$\begin{eqnarray*} |2^n*\frac{4in^2+i}{(1+i)^{2n}} |=|4in^2+i| \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} |4in^2+i| \end{eqnarray*}$ geht gegen unendlich und divergiert somit.

Ich hoffe, dass das soweit richtig ist.

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